Integration

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21.06.2005, 14:17	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Hi, ich habe zwei Fragen zum Integral und zwar: was is e hoch -x integriert?? und wie sieht es aus wenn man das ergebnis nochmals integriert. und Was ist zb 10^x integriert. Ich komme auf 10^x / ln 10. Jetzt müsste ich das ganze nochmals integrieren. Was kommt dann raus?? Gruß Mike
21.06.2005, 14:24	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int e^{-x}\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ kannst Du mit Hilfe von Substitution lösen... Setze mal u=-x, dann siehst Du, dass es ganz einfach ist Auch das dann nochmals zu integrieren ist nicht schwierig... $\begin{eqnarray} \int 10^{x}\mathrm{d}x=\frac{10^x}{\ln 10} \end{eqnarray}$ Das stimmt! Um das nochmals zu integrieren denk daran, dass $\begin{eqnarray} \int c\cdot a(x) \mathrm{d}x = c \int a(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Und schreibe dein Integral also so: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\ln 10}\int 10^{x}\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ EDIT: Ein noch an Dich, sorry! Ausserdem heisst Du auch gleich wie ich !
21.06.2005, 15:03	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
übrigens sehen es einige lieber wenn man statt integrieren sagt: Die Stammfunktion von... Gruß, aRo PS. And
21.06.2005, 15:12	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also erst mal danke für die Hilfe. @Frooke es kommt mir dann bei der Rechnung: Integral von x mal 2^x dx folgenes raus: x mal 2^x /ln2 - 1/ln2 mal 2^x /ln2 + c kann das stimmen`??? Aber bei dem e^-x werd ich immer noch nicht schlau. e^x ist doch integriert e^x ist dann nicht e^-x auch e^-x ?? Werd nicht schlau daraus! PLZ HELP Gruß Mike PS: Super Forum
21.06.2005, 15:16	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte gewöhne dich direkt an den formeleditor, so ist das ja schrecklich zu lesen. erstmal zu deiner 2.frage: überlege mal, was passiert, wenn du $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ ableitest. Und dann überlege im nächsten Schritt, wie du $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ verändern musst, damit $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ als Ableitung rauskommt. Gruß, aRo
21.06.2005, 15:41	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
so und nun zu deinem Integral: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~x2^x~dx \end{eqnarray}$ so: $\begin{eqnarray} v'=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=0,5x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=2^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2^{x}ln(2) \end{eqnarray}$ so kannst du das nun selbst mit der PRoduktregel zusammensetzen?
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21.06.2005, 15:48	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das weis ich eben nicht was da rauskommt? Muss ja $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ aufleiten und nicht ableiten. dass da 1 rauskommt? also lne oder lieg ich da falsch?? ich häng da wirklich sehr im moment. ein problem habe ich aber noch, und das sieht so aus zb: $\begin{eqnarray} 10^{-x} \end{eqnarray}$ Das sind noch die 2 Dinge wo ich hänge. Sonst sollte mir heute nichts mehr im wege stehen da mir ja bei $\begin{eqnarray} 10^{x} \end{eqnarray}$ schon geholfen wurde Gruß Mike @brunsi ich habs so gemacht: $\begin{eqnarray} f=x ;f'=1 ; g'=2^x; g= 2^x/ln2 \end{eqnarray}$ was is jetzt richtig? wenn ich es löse so wie du es aufgeschrieben hast dann kommt mir folgendes raus: $\begin{eqnarray} 2^x 1/2-2ln(2)1/4 x² + C \end{eqnarray}$ ` jetzt richtig?? weiss nicht wirklich was ich immer auf oder ableiten soll bei der partiellen I. Ich tu mir da richtig schwer! Gruß Mike edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
21.06.2005, 16:17	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mike: Ich hätt's auch so gemacht, wie Du's zuerst gesagt hast! Ich weiss nicht, ob brunsis Weg hier zu einem Ziel führt... Also: $\begin{eqnarray} \int x 2^x\mathrm{d}x=\left[\frac{x\cdot2^x}{\ln 2}\right] - \frac{1}{\ln 2}\int 2^x \mathrm{d}x=\frac{2^x}{\ln 2}\left(x-\frac{1}{\ln 2}\right)+c \end{eqnarray}$ Du hast es also richtig gemacht ! Tiptop! LG EDIT: $\begin{eqnarray} \text{\LaTeX} \end{eqnarray}$ korrigiert! Etwas 10. EDIT: @Mike: Um Missverständnisse zu vermeiden: Das hier: «x mal 2^x /ln2 - 1/ln2 mal 2^x /ln2 + c» war richtig!!
21.06.2005, 18:19	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
@all: mir kommt da gerade so ein gedanke, ob er richtig ist weiß ich nicht, aber darf man faktoren von integralen durch faktoren von anderen integralen dividieren?
21.06.2005, 18:22	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss nicht genau, was Du meinst, aber da man konstante Faktoren aus dem Integral herausziehen kann denke ich mal, dass die Antwort ja ist... Hast Du ein Beispiel?
21.06.2005, 18:40	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das wäre dann die obige Funktion: ich schreib mal hin, was ich da für die 1. und zweite PRoduktintegration heruas bekommen habe: 1.Produktintegration: $\begin{eqnarray} v=0,5x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=2^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2^{x}ln(2) \end{eqnarray}$ so das zusammengesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~2^{x}x~dx=[2^x0,5x^2]-\int_{}^{}~2^{x}ln(2)o,5x^2~dx \end{eqnarray}$ so dann beim zweiten integral die faktoren nach draußen gezogen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~2^{x}x~dx=[2^x0,5x^2]-(ln(2)0,5)\int_{}^{}~2^{x}x^2~dx \end{eqnarray}$ So und nun das 2.Integral noch einmal mit Produktintegration behandelt: $\begin{eqnarray} u=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\frac{2^x}{ln(2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=2^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~2^{x}x^2~dx=[\frac{x^{2}2^x}{ln(2)}]-(\frac{2}{ln(2)})\int_{}^{}~2^{x}x~dx \end{eqnarray*}$ so könnte man bei der zweiten integration nicht den term in der [..] mit minus rüber bringen und dann durch den faktor der vor dem integral auf der rechten seite steht dividieren?
21.06.2005, 18:46	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal abgesehen von Deiner Frage: So wie Du das hier machst, drehst Du Dich im Kreis... Wähle doch grad geschickter u und v so, dass das x abgeleitet wird... Und zu deiner Frage: Bringt nichts, weil Du dann ja links eine Summe hast... Aber solange du dich an die Gesetze hälst, darfst Du alles machen
21.06.2005, 19:05	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das waj ja auch mein problem, dass sich dann bei dieser wahl der integration dann das eigentliche integral wegkürzt. naja hätte ich bei der ersten integration vielleichts chon andere konstellationen wählen sollen doer beid er 2. integration strikt die obere konstellation in veränderter form beibehalten müssen. naja, wie das integral im endeffekt gelöst wird ist ja egal, hauptsahce es wird gelöst
21.06.2005, 21:05	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, klar! Aber wenn Du Deine Methode weitergeführt hättest (ohne im Kreis zu drehen) hättest Du das x immer weiter aufgebaut, also zu x im Quadrat, dann Kubik usw... Und da sich das $\begin{eqnarray} 2^x \end{eqnarray}$ nie abbauen kann, wärst Du nie zu einem Ziel gekommen. Allgemein sollte man bei Integralen von der Form $\begin{eqnarray} \int p(x) s(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ , wobei p(x) ein Polynom ist und s(x) etwas wie sin(x), cos(x) oder a^x, immer p(x) als f wählen und s(x) als g'... (weil man eben das p(x) abbauen kann!) Ausnahme sind hier Logarithmen... Die lassen sich eben auch leicht «abbauen». Deswegen diese in der Regel als f wählen! PS: Kannst ja mal sehen, wie weit Du gekommen wärst
22.06.2005, 11:27	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hänge wirklich... komm bei der partiellen Integration nicht wirklioch weiter. Ich müsste wissen was $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ und zb. $\begin{eqnarray} 10^{-x} \end{eqnarray}$ aufgeleitet und abgeleitet ist. Ich komm da wirklich nicht weiter PLZ HELP!
22.06.2005, 11:38	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich stell dir aml eben das programm zur integartion und ableitung von $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ dar: $\begin{eqnarray} F(x)=-e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=-e^{-x} \end{eqnarray}$

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