Beweis Erwartungswert n*p der binomialverteilung

21.06.2005, 17:28

kOin

Beweis Erwartungswert n*p der binomialverteilung

heyho,
haben im unterricht bisher folgendes behandelt:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^{k} * q^{n-k} \end{eqnarray*}$

sowie

E(X)=x1*P(X=x1) + x2*P(X=x2)....

Mit hilfe dieser beiden Formeln soll nun bewiesen werden, dass der Erwartungswert bei der Binomialverteilung n*p ist !?

bitte um Hilfe =(

das ganze stammt aus dem Grundkurs Mathe am Gymnasium, Jahrgangsstufe 12.

vielen dank,
mfg kOin

ps. hab nich ganz so den plan von mathe , antwort daher bitte so simpel wie möglich ^^

21.06.2005, 18:20

bil

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hi
ok die erzeugende fkt kennt ihr wie es aussieht wohl nicht, damit gehts nämlich ziemlich schnell... aber versuchen wir es mal mit deiner formel vom erwartungswert.

das wissen wir alles:

$\begin{eqnarray*} x_0,\dots,x_n=0,...,n \end{eqnarray*}$
das macht die sache schonmal leichter.

$\begin{eqnarray*} P(X=0)&=&{{n}\choose {0}}\cdot p^0 \cdot (1-p)^n\\P(X=1)&=&{{n}\choose {1}}\cdot p^1\cdot (1-p)^{n-1}\\\vdots\\ P(X=n)&=&{{n}\choose {n}}\cdot p^n \cdot (1-p)^0 \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du diese werte in die erwartungswertformel einsetzten und das ganze irgendwie auf n*p bringen. siehe:
$\begin{eqnarray*} E(X)=1\cdot {{n}\choose {1}}\cdot p^1\cdot (1-p)^{n-1}+\dots+n\cdot{{n}\choose {n}}\cdot p^n \cdot (1-p)^0=n\cdot p \end{eqnarray*}$
xo=0 kann man für den erwartungswert natürlich weglassen(da x0*P(X=0)=0), habs nur zur vollständigkeit hier reingeschrieben. mein lösungsansatz kommt mir selber etwas kompliziert vor aber sollte eigentlich funzen. vielleicht hat ja wer anders noch eine bessere idee.

mfg bil

21.06.2005, 19:17

kOin

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vielen dank erstmal für die schnelle antwort bil =)
bin inzwischen auch zu der Formel

$\begin{eqnarray*} E(X)=1 * \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} * p^{1} * (1-p)^{n-1} + ..... + n * \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} * p^{n} * (1-p)^{0} \end{eqnarray*}$

gelangt.
Allerdings ist für mich noch nicht ganz ersichtlich, wie man dann zu

E(X)= n*p

kommt, ist aber wohl nur eine frage der unformung oder?
könnt da noch jemand helfen?

mfg kOin

21.06.2005, 19:32

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Da gibt es hier schon Threads zu dem Thema, aber ich finde sie auf die Schnelle auch nicht... na egal.

Hilfreich ist auf jeden Fall die für k>0 gültige Umformung

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} = \frac{n}{k}\cdot {n-1 \choose k-1} \end{eqnarray*}$ ,

mit der kannst du die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k\cdot{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ schon viel freundlicher schreiben.

21.06.2005, 23:35

4c1d

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Eine andere Möglichkeit : Betrachte deine binomialverteilte Zufallsvariable X als Summe von n identischen, unabhängigen Indikatorvariablen I (jeweils mit den beiden möglichen Werten 0 und 1, wobei 1 mit Wahrscheinlichkeit p angenommen wird). Dann kannst du den Erwartungswert einfacher über $\begin{eqnarray*} E(X) = E(I+I+I+...+I) \end{eqnarray*}$ (n mal I) berechnen (vorausgesetzt, ihr hattet schon die enfachen Sätze zu Erwartungswerten).

26.04.2011, 00:51

mathemaxx

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hallo,
ich verstehe die Herleitung der Erwartungswertformel E=n*p nicht.
Wie kommt man von der langen Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
E = ( 0*(n über 0) * p^0 * (1-p)^n + 1*(n über 1) * p^1 * (1-p)^(n-1) + ... + n*(n über n) * p^n * (1-p)^0 )

auf die Kurzform

E=n*p ?

Danke im Voraus!

26.04.2011, 08:25

Math1986

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Zitat:

Original von mathemaxx
Wie kommt man von der langen Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
E = ( 0*(n über 0) * p^0 * (1-p)^n + 1*(n über 1) * p^1 * (1-p)^(n-1) + ... + n*(n über n) * p^n * (1-p)^0 )

auf die Kurzform

E=n*p ?

Ueber den binomischen Lehrsatz (in Wikipedia ist es vorgerechnet)

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