2x mal differenzierbare Funktion zz f=0

19.01.2008, 11:58

BünderBarbarossa

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2x mal differenzierbare Funktion zz f=0

Hallo

Ich soll folgendes zeigen
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ 2x mal differenzierbar mit
f''(x)+f(x)=0
f(0)=0
f'(0)=0

zu Zeigen ist f=0

nur weiß ich leider nicht wie. Habt ihr vielleicht ne Idee wie das gehen soll?

Schon mal danke im Voraus

mfg BB

19.01.2008, 12:13

tmo

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hier stand mist...so kommst du doch nicht zum ziel.

ich muss noch mal drüber nachdenken

19.01.2008, 12:47

WebFritzi

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Löse die dgl und setze die Anfangswerte ein.

19.01.2008, 13:31

BünderBarbarossa

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Geht das auch ohne dgl? Differenzialgleichungen hatten wir noch nicht in der Vorlesung.

19.01.2008, 14:39

Tomtomtomtom

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Wo seid ihr denn gerade in der Vorlesung? Kann man den Taylorschen Lehrsatz verwenden?

Wenn f nicht nur als zweimal differenzierbar vorausgesetzt wäre, sondern als analytisch (d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar) wäre es relativ einfach, dann erhält man mit dem Ansatz f(x)=a_n x^n aus der Differentialgleichung das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} a_n+(n+2)(n+1)a_{n+2}=0 \qquad \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

und aus den Anfangswerten von f die Anfangswerte

$\begin{eqnarray*} a_0=0, \qquad a_1=0 \end{eqnarray*}$ ,

und dann sieht man schon das a_n=0 für alle n sein muß, d.h. f(x)=0. Aber zweimal differenzierbar sind halt dummerweise noch viel mehr Funktionen.

19.01.2008, 14:58

BünderBarbarossa

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Taylorreihen behandeln wir nicht. In dem aktuellen Kapitel der Vorlesung geht es allerdings schon um Potenzreihen. In der Aufgabe selber ist zu f nicht mehr angeben, bis auf das Thema (Rechenregeln zu trigonometrischen Funktionen), dies bezieht sich jedoch mehr auf die weiteren Teilaufgaben.

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19.01.2008, 15:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Wenn f nicht nur als zweimal differenzierbar vorausgesetzt wäre, sondern als analytisch

Aus der DGL folgt, dass f zumindest unendlich oft diffbar ist.

19.01.2008, 15:35

Tomtomtomtom

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Trigonometrische Funktionen ist aber shcon mal nen gutes Stichwort, denn die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist f(x)= c sin(x) + d cos(x), und die Konstanten berechnest du halt über die Nebenbedingungen. Bist du sicher, daß ihr gar nix in der Richtung hattet?

19.01.2008, 15:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Trigonometrische Funktionen ist aber shcon mal nen gutes Stichwort,

einen gutes Stichwort?

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
denn die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist f(x)= c sin(x) + d cos(x)

Es reicht hier, zu wissen, dass der Lösungsraum 2-dimensional ist.

19.01.2008, 15:49

BünderBarbarossa

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Trigonometrische Funktionen ist aber shcon mal nen gutes Stichwort, denn die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist f(x)= c sin(x) + d cos(x), und die Konstanten berechnest du halt über die Nebenbedingungen. Bist du sicher, daß ihr gar nix in der Richtung hattet?

Wir haben bis vor einer Woche Differenzialrechnung gehabt mit den Potenzreihen sind wir diese Woche angefangen, dabei ging es um Konvergenzradius,Differenzierbarkeit von Potenzreihen, exp und ln und deren Eigenschaften. Wobei wir bei Differenzierbarkeit Mittelwertsatz, Extremstellen, Hospital, 2.Ableitung bzgl. Krümmungsverhalten hattten. Taylorreihen hatten wir nicht.

Wenn man das jetzt als Differenzialgleichung auffasst, handelt es sich dann, wenn ich das bei wiki richtig verstanden habe um eine gewöhnliche Differenzialgleichung mit Anfangswertproblem?

19.01.2008, 15:54

WebFritzi

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Ja, aber wenn ihr noch keine Diffgleichungen hattet, maht es nicht viel Sinn, das in der Bearbeitung der Aufgabe einfließen zu lassen.

21.01.2008, 18:44

BünderBarbarossa

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Mein Tutor meinte heute, man müsste geschickt die 1. Ableitung an die 1.Gleichung multiplizieren und dann nach f(x) umformen.

21.01.2008, 21:08

Mathespezialschüler

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Schöne Aufgabe bzw. schöne Lösung, auf die hingewiesen wurde von deinem Tutor! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus $\begin{eqnarray*} f''(x)+f(x)=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f''(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ und daraus

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)f''(x)=-2f'(x)f(x) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt guck dir mal beide Seiten etwas genauer an, erinnert dich das an etwas?

21.01.2008, 22:20

BünderBarbarossa

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Das erinnert mich an die Produktregel
$\begin{eqnarray*} 2f'(x)f''(x)=-2f'(x)f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\frac{d}{dx}(f'(x)*f'(x))=-\frac{d}{dx}(f(x)*f(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)*f'(x)=-f(x)*f(x) \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)*f'(x)\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -f(x)*f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt f'(x)=0 und f(x)=0

Ist das so richtig?

21.01.2008, 22:39

Mathespezialschüler

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Du kannst das ja auch gleich mit Quadraten schreiben. Also:

$\begin{eqnarray*} \left((f'(x))^2\right)'=\left(-(f(x))^2\right)' \end{eqnarray*}$ .

Du hast also mit $\begin{eqnarray*} g(x)=(f'(x))^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=-(f(x))^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g'(x)=h'(x) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Muss dann schon $\begin{eqnarray*} g(x)=h(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten?

22.01.2008, 09:15

BünderBarbarossa

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Da kommen dann die beiden anderen Gleichungen ins Spiel f(0)=0 und
f'(0)=0.

22.01.2008, 12:14

WebFritzi

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Ja, also hast du's ja jetzt gerafft. smile

smile

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