Integral über die Norm und R

19.01.2008, 13:38	AfB	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über die Norm und R Hallo. In der Vorlesung hatten wir die Foruriertransformierte $\begin{eqnarray} f(x):=e^{-\|\|x\|\|^2 /2 } \end{eqnarray}$ berechnet. x ist aus dem IR hoch n Jetzt ist es mir ganz klar, wie wir auf diese Zeile gekommen sind $\begin{eqnarray} \hat{f}(p) = \prod^n_{j=1} (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})\int_{\mathbb{R}} e^{-x_j^2 / 2} e^{-ix_j p_j} dp_j \end{eqnarray}$ Unklar ist mir jetzt allerdings, wieso die nächste Zeile lautet $\begin{eqnarray} \prod^n_{j=1} e^{-p_j^2 /2} \end{eqnarray}$ Ich kriege es nicht hin das $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}} e^{-x_j^2 / 2} e^{-ix_j p_j} dp_j \end{eqnarray}$ zu berechnen Da ich nur die Vorlesung versuche nachzuarbeiten (so kurz vor den Klausuren) möchte ich euch bitten, mir vielleicht die eine fehlende Zeile vorzugeben Oder wie ich im Exponenten substituieren muss, damit ich das Integral quasi ablesen kann. Ich hoffe das ist nicht zu viel verlangt Grüße AfB
19.01.2008, 16:18	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Da stimmt auch etwas nicht. Bist du sicher, dass du über p integrierst und nicht über x?
19.01.2008, 16:29	AfB	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Das ist ein Tex-Schreibfehler und wir integrierten nach x bzw nach $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ Trotzdem ist mir der eine Schritt zum anderen nicht klar, jetzt kannst du mir besitmmt helfen?
19.01.2008, 16:31	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann ich: Fass die beiden e-Funktionen zusammen und mach im Exponenten eine quadratische Ergänzung in x. Dann kannst du den ergänzten Teil wieder abspalten und davor ziehen, den Rest kannst du integrieren. mfG 20
19.01.2008, 18:34	AfB	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht ganz Ich integriere es so, als wäre das $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ gleich x und integriere das dann? Ich integriere $\begin{eqnarray} \int e^{(0.5(- ((x + ip/2)^2 - i^2p^2/4)))} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{2}\sqrt{\pi}e^{-p^2 /8} \end{eqnarray}$ Und wenn ich jetzt p als p_j nehme, dann komme ich nicht auf die nächste Zeile
20.01.2008, 12:28	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, aber fast Entweder du hast dich beim Integrieren vertan, oder bei der quadratischen Ergänzung... Beachte das i! mfG 20
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20.01.2008, 12:58	AfB	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe Aber weißt du denn, was die Lösung des Integrals ist?
20.01.2008, 14:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn deine nächste Zeile stimmt, dann weißt du es doch auch! $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi}e^{-\frac{p_j^2}{2}} \end{eqnarray}$

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