Funktionen fk(x) stets einen Wendepunkt??!

22.06.2005, 09:58

Falco

Funktionen fk(x) stets einen Wendepunkt??!

Hallo Leute, wie begründe ich mit Hilfe der Differentialrechung/ohne die Differentialrechnung, dass Funtionen fk(x) stets einen Wendepunkt haben?! Beispiel: fk(x) = kx hoch 5 - 1/3 x hoch 3

Vielen Dank
Falco

22.06.2005, 10:13

aRo

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also, das hier ist deine Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_k(x)=kx^5-\frac{1}{3}*x^3 \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde es jetzt ganz einfach so machen:
Bilde die 1,2,3Ableitung. Und gucke, warum es immer mindestens einen Wendepunkt gibt Augenzwinkern

gruß,
aRo

22.06.2005, 10:21

Falco

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Da die Funtion ja Punktsymetrisch ist, fünten Grades ist und HP und TP (Extrema) besitzt, kann man doch anschaulich sagen, dass sie immer einen WP haben muss - ODER??

22.06.2005, 10:26

aRo

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das wäre eine schöne anschauliche Begründung.

Allerdings hat die Funktion nicht immer Extrema.

Begründe es doch ganz einfach.

Hast du denn schon alle Ableitungen gebildet?
Stelle sie mal hier rein.

Gruß,
aRo

22.06.2005, 10:29

Falco

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Also die Ableitungen wären:

1. = 5kx hoch 4 - x hoch 2
2. = 20kx hoch 3 - 2x
3. = 60kx hoch 2

22.06.2005, 10:33

aRo

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sieht zwar nicht so schön aus ist aber richtig (bis auf die letzte).
hast du dich da nur verschrieben?!

Betrachte deine 2. und 3. Ableitung. Du musst einen Wendepunkt finden, der immer existiert, unabhängig von k.

Gruß,
aro

22.06.2005, 10:36

Falco

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Warum sollte die letzte den falsch sein?? 60x hoch zwei steht doch vorn und 2x fällt doch von der 2. auf die 3. Ableitung ganz weck.

Kannst du mir vieleicht ne Hilfestellung geben, wie ich das herausbekommen soll, wie jede Funktion den gleichen WP hat?

22.06.2005, 10:43

derkoch

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Zitat:

2. = 20kx hoch 3 - 2x
3. = 60kx hoch 2 - ????

22.06.2005, 10:51

aRo

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wende mal die Ableitungsregel auf deinen subtrahent an.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

dann wirst du vielleicht sehen, warum die dritte Ableitung falsch ist.

Gruß,
aRo

22.06.2005, 10:53

Falco

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Also 60kx hoch 2 minus 1 ???

22.06.2005, 10:56

aRo

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ich wandele noch etwas ab:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -2x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

22.06.2005, 12:13

Denjell

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Wenn du etwas ableitest wie dein 2x, dann fällt nur das x weg die 2 bleibt bestehen. Leitest du dann die 2 nochmal ab, dann wirds erst null.