gradient und skalarprodukt

22.06.2005, 13:21

oldwise

gradient und skalarprodukt

hallo, ich habe mal 2 Fragen:

wenn ich die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x) \end{eqnarray*}$ bilden soll, von $\begin{eqnarray*} f(x) = ||x||_2^2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y)=y_1^4+y_2^4+y_3^4 \end{eqnarray*}$ ist das dann in dem Fall $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x) = ||x||_2^2x(y_1^4+y_2^4+y_3^4) \end{eqnarray*}$ ? Und der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ wäre dann die Ableitung des Ausdrucks, oder?

Meine zweite Frage ist etwas schwieriger:

ich habe hier folgende Funktionen gegeben:

$\begin{eqnarray*} F(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2} \cos(\sin(\epsilon))d\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2} e^{\cos(\eta)}d\eta \end{eqnarray*}$ und soll den Wert von $\begin{eqnarray*} <\nabla F,\nabla G> \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} (\pi,0) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wie kann ich mir das vorstellen? Das Skalarprodukt steht ja für den Winkel zwischen den beiden Funktionen. Kann ich also eine Tangente an den entsprechenden Punkt angelegen und dann den Winkel berechnen?

vielleicht kann mir ja jemand helfen smile

22.06.2005, 14:17

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Zur ersten Frage: Ich muss verständnishalber nochmal ganz vorn ansetzen. Du betrachtest $\begin{eqnarray*} f:\,\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\|x\|_2^2\,x \end{eqnarray*}$ (dabei soll $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ vermutlich die euklidische Norm auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ sein); dann $\begin{eqnarray*} g:\,\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y)=y_1^4+y_2^4+y_3^4 \end{eqnarray*}$ und anschließend die Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} (g\circ f):\,\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Nach meiner Rechnung ergibt das aber $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x) = \|x\|_2^8(x_1^4+x_2^4+x_3^4) \end{eqnarray*}$ .

22.06.2005, 15:02

oldwise

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richtig.

hmm also werden die y vom x überschrieben, soweit ok, aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} ||x||_2^8 \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2005, 18:50

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Es gilt $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist. Ich schreib es mal in Komponentenschreibweise, da bei dir wohl grade irgendwo eine Blockade ist:

$\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix} = \|x\|_2^2\,x = \|x\|_2^2\,\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist z.B. $\begin{eqnarray*} y_1 = \|x\|_2^2\,x_1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} y_1^4 = \left(\|x\|_2^2\,x_1\right)^4 = \|x\|_2^8\,x_1^4 \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist dann hoffentlich klar.

22.06.2005, 19:13

oldwise

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oha!

blockade eher weniger, wußte nicht, wie ich sie verknüpfen sollte.

danke smile

zu meiner 2.Frage: liege ich mit meiner Idee richtig? kann ich das so machen?

22.06.2005, 19:22

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RE: gradient und skalarprodukt

Zitat:

Original von oldwise
Das Skalarprodukt steht ja für den Winkel zwischen den beiden Funktionen.

??? - es hat höchstens was damit zu tun.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}:=\nabla F\bigg|_{(x_1,x_2)=(\pi,0)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}:=\nabla G\bigg|_{(x_1,x_2)=(\pi,0)} \end{eqnarray*}$ sind normale Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Was willst du da jetzt mit dem Winkel, rechne doch einfach deren Skalarprodukt über die viel einfachere Formel $\begin{eqnarray*} a_1b_1+a_2b_2 \end{eqnarray*}$ aus. Du betrachtest hier doch das normale euklidische Skalarprodukt, oder?

22.06.2005, 19:49

oldwise

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RE: gradient und skalarprodukt
ähm ja geschockt

, hast recht, damit kann ich es ausrechnen ... entschuldige, manchmal denke ich einfach zu kompliziert ... traurig

23.06.2005, 07:50

tween2k

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RE: gradient und skalarprodukt
hi. da hätte ich auch mal eine Frage dazu.

ich habe diesen Ausdruck grad F und dann dieser Strich mit (x1,x2)... schon öfters gesehen, weiß aber noch nicht was er bedeutet.

kann mir das mal jemand erklären?

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gradient und skalarprodukt

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