Masse eines 3D-Gebietes

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Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »
Masse eines 3D-Gebietes
Hallo,

habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe.

Gegeben ist ein 3D-Gebiet, das durch das Paraboloid und die (x,y)-Ebene begrenzt wird. Massendichte m(x,y)=1.

Gesucht ist die Masse.
Integrale berechnen ist kein Problem, mir fehlt nur der Ansatz.

Danke im Voraus.
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun wenn die Dichte konstant 1 ist, dann bedeutet das wohl, das du nur das Volumen berechnen musst -
also das Integral berechnen, folglich kein Problem Augenzwinkern
 
 
Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »

O.k., das hat mir weitergeholfen. Jetzt folgt aber das nächste Problem: Ich soll auch noch die Koordinaten des Schwerpunktes und das Trägheitsmoment berechnen. Habe aber nicht so wahnsinnig viel Ahnung davon Hilfe .

Zu dem Schwerpunkt: Welche Grenzen muss ich nehmen und welche Funktion zum Integrieren?
jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Masse eines 3D-Gebietes
Rechne bitte hier erst mal das Volumen aus, dann kann ich dir (denke ich) beim Schwepunkt helfen, bzgl. Trägheitsmoment müssten wir dann nochmal nachschauen wie das definiert ist.
Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »

Habe den Paraboloid als rotierende Funktion um die z-Achse genommen, d.h. (4 V, da ich ja nur ein Quartal berechnen muss).






Natürlich nur, wenn ich nicht mal wieder auf dem Schlauch gestanden habe Augenzwinkern .
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koordinaten des Schwerpunktes zs erhältst du aus



und das Trägheitsmoment, bezogen auf die (x,y)-Ebene ???, aus

jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt steh ich natürlich aufm Schlauch, da ich sowas schon ewig nicht mehr gemacht habe,
folglich wenig Ahnung und schon nicht nachvollziehen kann wie du auf den Ansatz kommst:

Es scheint mir trotz meiner Unkenntnis nicht ganz richtig zu sein -
vielleicht stimmen auch nur die Integrationsgrenzen nicht (0,2) anstelle von (0,4) ??
ich kann momentan leider auch nur raten, da ich hier keine Literatur zur Verfügung habe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Kokolina

Deine Rechnung verstehe ich überhaupt nicht. Die Ebene schneidet deinen Paraboloid in einem Kreis , also einem Kreis mit Radius . Die Volumenformel für den Rotationskörper angewandt bedeutet das

Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur:

Klingt sehr einleuchtend. Werde ich mir für die Zukunft mal merken, habe jedesmal Probleme damit.

@ etzwane:

Wir haben in der Vorlesung die Formel:

benutzt.

, da der Schwerpunkt auf der z-Achse liegt.
Jetzt fehlt mir aber f(?)!
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt rate ich doch noch mal:

scheint mir sinnvoll.
Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »

@ jovi:

Wenn ich das ausrechne komme ich auf 4/3, das kann stimmen.
Aber wie kommst du auf die Formel in dieser Zusammenstellung? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Formel fußt - wie auch schon die Volumenformel für Rotationskörper - auf dem Übergang zu Polarkoordinaten mit der dann gültigen "Umrechnung" .

Das eingesetzt in die obige kartesische Schwerpunktsformel für ergibt die "richtig geratene" Formel von jovi. Augenzwinkern
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Entsprechend der Definition von etzwane, an die ich mich auch noch erinnern konnte:
Kokolina Auf diesen Beitrag antworten »

Super, damit ist eigentlich alles klar. Herzlichen Dank für die tolle Hilfe an alle.
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