Beweis Vektor

22.06.2005, 20:03

LK_Loser

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Beweis Vektor

Wie kann ich mithilfe von Vektoren beweisen, dass in einem Viereck, wo 2 Paare benachbarter Seiten gleich lang sind die Diagonalen senkrecht aufeinadner stehen?

Das müsste also ein Drachen, ne Raute oder ein Quadrat sein.

Hab ne Skizze gemacht in der die Diagonalen dann e und f heißen.
Hier sind einige komische Ansätze aber ich komm auf keinen Lösungsweg.... unglücklich

unglücklich

Senkrecht heißt ja orthogonal also müssen die Winkel an den Diagonalen 90° sein und damit das Skalaprodukt von e + f = 0
Als Stützvektor nehm ich a.
Und irgendwie könnte man ja auch Pythagoras einbauen mit
e² = c² + d²

Bitte helft mir! Ich hoffe man versteht, was ich meine....
DANKE!

22.06.2005, 20:18

sqrt(2)

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Nimm zwei Vektoren.

$\begin{eqnarray*} \vec{u} &:=& \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\\\vec{v} &:=& \begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Vektoren sollen ein Viereck aufspannen.

$\begin{eqnarray*} \vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}a+d\\b+e\\c+f\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist also eine der beiden Diagonalen. Überlege, wie du die Diagonale andere mit diesen Vektoren darstellen kannst. Dann bilde das Skalarprodukt aus beiden und schaue, wann es null wird.

22.06.2005, 20:23

LK_Loser

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Re:
Dann wäre sozusagen
e = a + b oder? (Vektorpfeil drüberdenken ;-))
und f = ehmm...a + d aber d hat man ja dann wieder nicht....
Das Skalarprodukt was 0 wird ist in jedem fall die beiden diagonalen miteinander multipliziert also e*f=0

22.06.2005, 20:31

sqrt(2)

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Also etwas langsamer...

Der dicke blaue Vektor, wie wird er durch $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt?

22.06.2005, 20:49

LK_loser

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Re:
-v + u?

22.06.2005, 20:50

LK_Loser

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=u-v

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22.06.2005, 20:52

sqrt(2)

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Ja. Und jetzt bilde mal das Skalaprodukt von $\begin{eqnarray*} (\vec{u}+\vec{v}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\vec{u}-\vec{v}) \end{eqnarray*}$ , das Skalarprodukt der beiden Diagonalen also. Beim Vereinfachen des Ausdrucks wird dir die dritte binomische Formel sehr helfen.

22.06.2005, 21:01

LK_Loser

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Laut 3. bin. Formel
u²-v²

22.06.2005, 21:05

sqrt(2)

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Bitte?

$\begin{eqnarray*} (\vec{u}+\vec{v})*(\vec{u}-\vec{v})=\begin{pmatrix}a+d\\b+e\\c+f\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}a-d\\b-e\\c-f\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... ist was?

[edit]Möglicherweise meintest du das Richtige, aber deine Schreibweise wäre in diesem Fall völlig falsch.[/edit]

22.06.2005, 21:08

LK_Loser

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lol ich hab einfach (u-v) * (v-u) = u²-v² gemacht aber das war wohl falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2005, 21:10

LK_Loser

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Also dann:

(a+d)² * (a-d)²
(b+e)² * (b-e)²
(c+f)² * (c-f)²

In Vektorklammer

22.06.2005, 21:10

sqrt(2)

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Gar nicht mal so falsch, wie du vielleicht denkst, aber nur auf Umwegen richtig (und dann falsch geschrieben). Rechne einfach mal den Term mit den einzelnen Vektorkomponenten aus, denn du dann mit der binomischen Formel vereinfachst.

22.06.2005, 21:12

sqrt(2)

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Ein Durcheinander ist das... also, damit wir uns nicht verheddern und klar ersichtlich ist, was wann geschrieben wurde, hier ein neues Posting.

Deine Berechnung des Skalarproduktes ist falsch. Allein schon am Namen sieht man, dass da kein Vektor, sondern ein Skalar dabei herauskommt. Sieh nochmal in deinen Aufzeichnungen nach, wie das Skalarprodukt definiert ist und rechne dann noch einmal.

22.06.2005, 21:14

LK_Loser

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a²-d²
b²-e²
c²-f²

Vektorklammer drum

22.06.2005, 21:15

LK_Loser

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Skalarprodzukt ist a * b = Betrag von a * Betrag von b * cos(Phi)

22.06.2005, 21:35

LK_Loser

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Und nun??? verwirrt

verwirrt

Hilfe

22.06.2005, 21:38

sqrt(2)

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Die Formel nützt uns hier wenig, ihr habt vorher noch eine andere kennen gelernt, nämlich

$\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{u}*\vec{v} \end{eqnarray*}$ lautet also?

22.06.2005, 21:43

LK_Loser

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a²d²+b²e²+c²f² ???

22.06.2005, 21:49

sqrt(2)

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Nein, poste deine Schritte mal ausführlich.

22.06.2005, 21:50

LK_loser

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ach shit

unglücklich

ich kann nicht mehr traurig

traurig

Danke für Deine Hilfe aber das hat doch alles keinen Zweck *einfach ein Loser ist* Forum Kloppe

Forum Kloppe

22.06.2005, 21:57

sqrt(2)

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Aufgeben bringt dich doch nicht weiter, also tue es auch nicht!

Poste doch einfach einmal die Schritte, die du gemacht hast, um zu dieser Lösung zu kommen, dann kann man auch da den Fehler korrigieren, und du kannst daraus lernen. Fehler sind da, um daraus zu lernen.

22.06.2005, 22:03

LK_Loser

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Ich kann einfach nicht mehr...es klappt einfach NIe weder mit noch ohne Hilfe.
Ich hab einmfach das ERgebnis, was ich dir zuerst genannt hatte, was richtig war in die Skalaproduktformel da eingesetzt...fertig....sag mir doch wies richtig ist und ich wversuche es dann zu verstehen....vielleicht klappt das wenigstens... traurig

traurig

22.06.2005, 22:14

sqrt(2)

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Also,

$\begin{eqnarray*} (\vec{u}+\vec{v})*(\vec{u}-\vec{v})&=&\begin{pmatrix}a+d\\b+e\\c+f\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}a-d\\b-e\\c-f\end{pmatrix}\\&=&(a+d)(a-d)+(b+e)(b-e)+(c+f)(c-f)\\&=&a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2\\&=&(a^2+b^2+c^2)-(d^2+e^2+f^2) \end{eqnarray*}$

Da die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen sollen:

$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2+c^2)-(d^2+e^2+f^2)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt sag du mir, wann genau und warum genau dann das der Fall ist.

22.06.2005, 22:21

LK_Loser

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und damit ist das jetzt bewiesen?
Hätt ich nie gewusst....

Also die 1. zeile is das was wir schon zusammen hatten
die einzelnen produkte addieren (hier liegt schon mal mein fehler)
dann die klammern auflösen
neue klammern setzen und weil ein minus vor der 2. klammer steht die vorzeichnen umdrehen

und wenn ich das dann = 0 setzte ist das bewiesen???
Muss ich dann noch nach irgendwas wieder auflösen oder so?

22.06.2005, 22:29

sqrt(2)

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Nein, es ist gar nichts bewiesen, wenn man keine Erklärung anfügt. Deshalb habe ich dich auch danach gefragt, was

$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2+c^2)-(d^2+e^2+f^2)=0 \end{eqnarray*}$

denn nun bedeutet. Wann ist diese Gleichung erfüllt? Ich habe die Klammern nicht zufällig so gesetzt...

22.06.2005, 22:32

LK_loser

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der eine Vektor - der ander Vektor is 0
also u - v = 0

22.06.2005, 22:44

LK_Loser

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Daraus folgt ich penn gleich ein....entweder jetzt oder morgen in mathe *lol* also ich check den thread morgen früh noch mal gegen 7 *megagähn*
eigentlich heißt ja u*v=0 das u zu v senkrecht is oder nich

22.06.2005, 23:11

sqrt(2)

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Also, die eine Diagonale $\begin{eqnarray*} \vec{u}+\vec{v} \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zur anderen Diagonale $\begin{eqnarray*} \vec{u}-\vec{v} \end{eqnarray*}$ , genau wenn

$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2+c^2)-(d^2+e^2+f^2)=0\\|\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2=0\\|\vec{u}|-|\vec{v}|=0 \end{eqnarray*}$

Quod erat demonstrandum.

(Womit dieser Thread quasi eine Komplettlösung in größerer zeitlicher Ausdehnung war...)

23.06.2005, 14:55

Leopold

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Leider ist dieser Beweis falsch. Jedenfalls zeigt er nicht die ursprüngliche Behauptung. Gezeigt wird hier nur, daß in einem Parallelogramm mit zwei Paaren benachbarter gleichlanger Seiten die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Zu zeigen war das aber für ein entsprechendes Viereck.

23.06.2005, 15:12

sqrt(2)

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Ich sollte endlich mal lesen lernen...

23.06.2005, 15:49

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a und b seien die anliegenden vektoren!

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

u und v seien die vetoren( diagonalen, die senkrecht auf einander stehen sollen!)

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \vec{b}+\vec{a}= \begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ b_2+a_2 \\ b_3+a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn u nd v senkrecht aufeinander stehen sollen muß das skalarprodukt ja null werden gell!

also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ b_2+a_2 \\ b_3+a_3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1^2+b_2^2+b_3^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ länge eines vektors = betrag des vektors!! also wurzel ziehen!!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mid \vec{a} \mid \end{eqnarray*}$

23.06.2005, 15:52

sqrt(2)

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Zitat:

Original von derkoch

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \vec{b}+\vec{a}= \begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ b_2+a_2 \\ b_3+a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das gilt leider nur in Parallelogrammen.

23.06.2005, 17:08

Leopold

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Im Viereck $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ seien die Seiten $\begin{eqnarray*} AB,BC \end{eqnarray*}$ und die Seiten $\begin{eqnarray*} CD,DA \end{eqnarray*}$ gleichlang. Wenn man die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \overrightarrow{AB} \, , \ \vec{b} = \overrightarrow{BC} \, , \ \vec{c} = \overrightarrow{CD} \, , \ \vec{d} = \overrightarrow{DA} \end{eqnarray*}$

einführt, gelten daher

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \vec{a}^{\, 2} = \vec{b}^{\, 2} \, , \ \vec{c}^{\, 2} = \vec{d}^{\, 2} \end{eqnarray*}$

Wir beginnen, indem wir $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ umformen, quadrieren und nach Anwendung der binomischen Formel auf $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ zurückgreifen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{c} = - \vec{b} - \vec{d} \ \ \Rightarrow \ \ \vec{a}^{\, 2} + 2 \vec{a} \vec{c} + \vec{c}^{\, 2} = \vec{b}^{\, 2} + 2 \vec{b} \vec{d} + \vec{d}^{\, 2} \ \ \Rightarrow \ \ \vec{a} \vec{c} = \vec{b} \vec{d} \end{eqnarray*}$

Mit der letzten Beziehung und $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ weisen wir nun nach, daß das Skalarprodukt der Diagonalvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} + \vec{c} \end{eqnarray*}$ Null ergibt:

$\begin{eqnarray*} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \left( \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{a} \vec{b} + \vec{a} \vec{c} + \vec{b}^{\, 2} + \vec{b} \vec{c} = \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{d} + \vec{b}^{\, 2} + \vec{b} \vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a} \vec{b} + \left( \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} \right) \vec{b} = \vec{a} \vec{b} - \vec{a} \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$

Wieder einmal ein Beleg dafür, daß man elementare Geometrie auch mit elementaren Methoden angehen sollte. Die Vektorrechnung ist da doch wohl für andere Dinge da. Oder findet jemand einen wesentlich einfacheren vektoriellen Beweis?

23.06.2005, 17:12

derkoch

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Gott

Gott

Gott

so einfach und doch so schwer!! traurig

traurig

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