Vollständige Induktion - f^n (x)

19.01.2008, 15:58

wuehlfried

Vollständige Induktion - f^n (x)

Hallo zusammen!

Ich bearbeite gerade eine Aufgabe zur vollständigen Induktion. Die Aufgabestellung lautet:

Gegeben sei:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (2*x+1)*e^{3*x} \end{eqnarray*}$

z.z.: für n=1,2,3,... gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*e^{3*x} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Danke und Grüße,
Wuehlfried

19.01.2008, 16:12

Mathespezialschüler

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Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

19.01.2008, 16:46

WebFritzi

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Die Aussage gilt sogar für n = 0,1,2,... .

19.01.2008, 16:49

wuehlfried

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Danke für die schnelle Antwort.

Die Aufgabe werde ich morgen lösen und dann hier weiter schreiben.

Einen schönen Abend wünsche ich!

19.01.2008, 16:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von wuehlfried
Die Aufgabe werde ich morgen lösen

Na, ist ja schön, dass du das jetzt schon weißt. ;o)

20.01.2008, 18:52

wuehlfried

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Ja, da war ich wohl etwas voreilig mit meiner Behauptung. Also, die vollst. Induktion bis zum Beweis habe ich:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*e^{3x} \end{eqnarray*}$

I) Induktionsanfang:

n=1:
$\begin{eqnarray*} f^{'}(x) = (2*3^{1}*x+3^{1}+2*1*3^{1-1})*e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 2*e^{3x} + (2x+1)*3e^{3x} = (2 + 6x + 3)*e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} e^{3x}* (2 + (2x+1)*3) = (6x + 5)*e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (2+6x+3)*e^{3x} = (6x + 5)*e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (6x+5)*e^{3x} = (6x + 5)*e^{3x} \end{eqnarray*}$ (wahr)

II) Induktionsschritt:

a) Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*e^{3x} \end{eqnarray*}$

b) Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) = (2*3^{n+1}*x+3^{n+1}+2*(n+1)*3^{n})*e^{3x} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll.

20.01.2008, 19:02

WebFritzi

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Wie ist denn $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ definiert?

20.01.2008, 19:18

wuehlfried

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Danke für die schnelle Antwort!

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ ist die (n+1)-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f^(x) = (2x+1)*e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, wie ich das mit n+1 ausdrücken soll um die Induktionsvoraussetzung entsprechend zu erweitern und so zur Induktionsbehauptung zu gelangen. Ich vermute, dass ich irgendwie etwas mit der Produktregel machen muss. verwirrt

20.01.2008, 19:20

WebFritzi

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Ja, OK. Wie berechnet man denn die (n+1)-te Ableitung. Zum Beispiel: Wie berechnest du die 2te Ableitung?

EDIT: Ich erwarte eine triviale Antwort.

20.01.2008, 19:26

wuehlfried

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Die 2. Ableitung erhält man, indem man die 1. Ableitung ableitet.
Also:

$\begin{eqnarray*} f^{'}(f^{'}(x)) \end{eqnarray*}$ , wenn man das so schreiben darf.

20.01.2008, 20:10

Mathespezialschüler

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Das ist richtig - bis auf die Schreibweise. Das schreibt man besser so:

$\begin{eqnarray*} (f')'(x) \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Ableitung ist also die Ableitung der ersten Ableitung. Was ist dann die $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -te Ableitung?

21.01.2008, 08:59

wuehlfried

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Ok. Dann müsste die n+1-te Ableitung die erste Ableitung der n-ten Ableitung sein. Also, wenn ich das richtig verstanden habe, so:
$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*e^{3x} \end{eqnarray*}$ lt. Induktionsvoraussetzung gegeben ist, vermute ich mal, dass ich die Voraussetzung ein mal ableiten muss, um die Lösung zu erhalten.

Da mein letzter Mathe-Unterricht schon lange zurück liegt und ich die Ableitnugsregeln beinahe alle vergessen habe, wäre ich sehr dankbar über einen Hinweis über die Korrektheit meiner Vermutung, bevor ich mich an diese Ableitung mache.

21.01.2008, 09:12

klarsoweit

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Soweit ok. Freude

21.01.2008, 10:25

wuehlfried

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Ich glaube, ich hab's smile

c) Beweis:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) = (2*3^{n+1}*x+3^{n+1}+2*(n+1)*3^{n})*e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = (2*3^{n+1}*x+3^{n+1}+2*(n+1)*3^{n})*e^{3x} \end{eqnarray*}$ (f^{n} s.h. II a) )

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = ((2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*e^{3x})' \end{eqnarray*}$ <=>

Hilfestellung:
$\begin{eqnarray*} g(x) = (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1}) ; g'(x) = 2*3^{n}*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = e^{3x} ; h'(x) = 3*e^{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = (2*3^{n})*e^{3x} + (2*3^{n}*x+3^{n}+2*n*3^{n-1})*3*e^{3x} \end{eqnarray*}$ (Produktregel) <=>

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = e^{3x}* (2*3^{n} + 2*3*3^n*x + 3*3^n + 3*2*n*3^{n-1}) \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = e^{3x}* (2*3^{n+1}*x + 3^{n+1} + 2*3^{n} + 2*n*3^n) \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = e^{3x}* (2*3^{n+1}*x + 3^{n+1} + 2+2*n * 3^n) \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = (2*3^{n+1}*x + 3^{n+1} + 2*(n+1) * 3^n)* e^{3x} \end{eqnarray*}$ <=> Indunktionsbehauptung

$\begin{eqnarray*} q.e.d. \end{eqnarray*}$

EDIT: Danke für Eure Hilfe!

21.01.2008, 19:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von wuehlfried
$\begin{eqnarray*} g'(x) = 2*3^{n}*x \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} (f^{n})'(x) = e^{3x}* (2*3^{n+1}*x + 3^{n+1} + 2+2*n * 3^n) \end{eqnarray*}$

Bis auf den (Schreib-)Fehler oben bei $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ und die vorletzte Zeile, bei der dir was verloren gegangen ist bzw. bei der du nicht ausgeklammert hast, was du vermutlich wolltest(?), ist alles korrekt, d.h. insbesondere auch das Endergebnis (obwohl die vorletzte Zeile falsch ist, danach stimmts aber wieder).
Ansonsten gewöhne dir an, für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ zu schreiben und nicht $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ . Letzteres ist nämlich nicht die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung, sondern i.A. die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz der Funktion(swerte).

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