Problem bei Aufgaben mit Unterräumen

19.01.2008, 16:05

spader

Problem bei Aufgaben mit Unterräumen

Hallo,
Ich habe wohl im Allgemeinen ein Problem bei Aufgaben die sich um Untervektorräume drehen. Offensichtlich habe ich die gesamte Thematik noch nicht richtig verstanden smile

Beispielaufgabe:

a )Zeigen Sie, dass die Menge

U = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | x,y,z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , x + y - z = 0}

ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ist.

b) Geben Sie eine Basis von U an.

c) Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wichtig scheint ja die Gleichung x+y-z=0 zu sein. Dadurch bekomme ich einen Vektor der Form: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hört es aber auch schon mit meinen Ideen auf smile

Ich glaube das Hauptproblem ist das Unterraumkriterium, welches in meinen Augen irgendwie immer erfüllt ist.

- Zunächst muss ja U eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ sein.
- u + v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U für u,v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U für v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie genau soll ich denn das jetzt zeigen ? Muss man da überhaupt großartig was machen ?

Danke im Voraus für die Hilfe Augenzwinkern

mfg

19.01.2008, 16:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

nimm dir 2 beliebige elemente aus U und zeige, dass für ihre summe immer noch gilt:
1.komponente + 2. komponente - 3. komponente = 0

und zu b): da hast du eigentlich schon die richtige idee gehabt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ x+y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.01.2008, 16:51

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem bei Aufgaben mit Unterräumen

Zitat:

Original von spader
Offensichtlich habe ich die gesamte Thematik noch nicht richtig verstanden smile

Diejenigen, die dieses behaupten, verstehen meist am besten. Also Kopf hoch. Man merkt hier auch, dass du's im Grunde draufhast.

Neue Frage »

Antworten »

Problem bei Aufgaben mit Unterräumen

Verwandte Themen