letzter Summand gesucht []

22.06.2005, 21:43

Sciencefreak

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letzter Summand gesucht []

Ich habe hier ein schönes Rätsel gefunden. Ich habe es selbst noch nicht probiert, aber es sieht recht interessant aus.

Die Summe der Folge:
$\begin{eqnarray*} 1^3+2^3+3^3...+n^3 \end{eqnarray*}$
ergibt eine 21-stellige Zahl.
Von dieser Summe sind allerdings nur die ersten drei und die letzten drei Stellen bekannt.
Sie sieht folgendermaßen aus: 310 ..............321 (insgesamt 21 Ziffern)

Mit diesen Angaben soll das letzte Glied (n) der obigen Folge rekonstruiert werden.

Ich stelle mir das ganze nicht allzu schwer vor, habe es aber noch nicht probiert, ich weiß auch nicht ob auf der oben angegebenen Seite auch die Lösungen stehen, ich bitte aber sie dann nicht unbedingt gleich zu posten.

22.06.2005, 22:53

AD

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Das Rätsel ist natürlich nur dann interessant, wenn man rechentechnische Hilfsmittel verbietet. Ansonsten gehen die Bruteforcer zu Werke und haben in Sekundenbruchteilen die Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2005, 23:25

JochenX

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könnte das hilfreich sein?!

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=19958#post19958

nicht mehr heute abend Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2005, 23:37

AD

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Ich hab grad Marvin gefragt, das für mich auszurechnen. Aber der schmollt, weil ich ihn mit so billigen Aufgaben unterfordere.

22.06.2005, 23:48

JochenX

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unten mein vorschlag, der aber nur ungefähr stimmen sollte

was sagt denn marvin dazu?
["denke dir eine zahl zwischen 1 und 1000000000"
187652 sagte die matratze. "falsch!"
da war die matratze beeindruckt....]

23.06.2005, 00:11

sqrt(2)

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Also ich bin bisher so weit:

Zu beweisen ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^3=\left(n\frac{(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsverankerung: Ausrechnen für n = 1 ergibt eine wahre Aussage.

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} i^3&=&\left((n+1)\frac{(n+2)}{2}\right)^2\\(n+1)^3+\sum_{i=1}^n i^3&=&\left((n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)\right)^2\\&=&\left(\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\right)^2\\&=&\left(n\frac{(n+1)}{2}\right)^2+n(n+1)^2+(n+1)^2\\(n+1)^3&=&n(n+1)^2+(n+1)^2\\&=&(n+1)(n+1)^2\\0&=&0 \end{eqnarray*}$

Ich hab dann ein bisschen herumgespielt mit den Endziffern von n, aber außer, dass die letzte Ziffer 1, 3 oder 6 sein muss, weiß ich noch nicht viel mehr.

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23.06.2005, 07:53

PrototypeX29A

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enthaelt die Zahl drei siebenen?

23.06.2005, 09:57

JochenX

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Zitat:

Ich hab dann ein bisschen herumgespielt mit den Endziffern von n, aber außer, dass die letzte Ziffer 1, 3 oder 6 sein muss, weiß ich noch nicht viel mehr.

sie kann doch auch 8 sein, oder!?

ich würde meinen vorschlag von oben dementsprechend ändern, hab aber keine ahnung in welche richtung.....
bleibe bei der aussage, dass das ein nicht exakter vorschlag ist, wüsste gerne erstmal ob denn die größenordnung relativ genau stimmt.
ich bin mir nicht sicher, ob meine methode das genauer liefert.

aber nach arthur isses ja sehr leicht..... hm, oder gilt das nur für wesen, die ein gehirn von der größe eines planeten haben!?

23.06.2005, 11:08

AD

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Mit "leicht" meine ich die Brachiallösung mittels Rechnergewalt. smile

smile

Die Modulo-Betrachtungen sind schon etwas fordernder. Ich würde mich da nicht so sehr an das Dezimalsystem klammern, sondern in Hinblick auf den Chinesischen Restsatz die Untersuchung eher auf die Module 8 und 125 konzentrieren, und sich letzterem schrittweise über 5 und 25 nähern. Und unabhängig davon kommen aufgrund der ersten drei Ziffern ja überhaupt nur noch 151 Zahlen in Frage...

23.06.2005, 13:01

sqrt(2)

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Ich hab dann ein bisschen herumgespielt mit den Endziffern von n, aber außer, dass die letzte Ziffer 1, 3 oder 6 sein muss, weiß ich noch nicht viel mehr.

sie kann doch auch 8 sein, oder!?

Ich würde sagen, nein, denn $\begin{eqnarray*} \left(8\cdot\frac{9}{2}\right)^2=1296 \end{eqnarray*}$ . Ich habe gestern Abend sogar einen Fehler gemacht, die Endziffer kann nicht 3 sein, sondern nur 1 oder 6.

23.06.2005, 13:15

AD

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich würde sagen, nein, denn $\begin{eqnarray*} \left(8\cdot\frac{9}{2}\right)^2=1296 \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} \left(18\cdot\frac{19}{2}\right)^2=29241 \end{eqnarray*}$ , soviel dazu. Man sollte den nichtganzzahligen Faktor $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ nicht unterschätzen. smile

smile

Mit anderen Worten: Jochen hat recht!

EDIT: Ach ja, der Vollständigkeit halber $\begin{eqnarray*} \left(13\cdot\frac{14}{2}\right)^2=8281 \end{eqnarray*}$

23.06.2005, 13:58

sqrt(2)

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Stimmt natürlich, was die Sache aber nicht gerade einfacher macht.

23.06.2005, 14:12

AD

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Noch ein paar Hintergründe zu der Falle, in die du getappt bist. Für modulo 10 des Ergebnisses reicht hier nicht die Betrachtung von n modulo 10 - wie eben gesehen - wohl aber n modulo 20: Denn dann haben wir n(n+1) modulo 20 und dann in der Folge wegen

$\begin{eqnarray*} (20r+s)^2=400r^2+40rs+s^2\equiv s^2\mod 40 \end{eqnarray*}$

auch das Ergebnis modulo 40. Und dann können wir durch 4 geteilt auf das richtige und eindeutige Ergebnis modulo 10 schließen.

23.06.2005, 14:17

sqrt(2)

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Hm, um das zu verstehen, werde ich mir das Rechnen mit Modulen noch einmal mehr als als nur oberflächlich ansehen müssen. Wenigstens hab ich jetzt was zu tun smile

smile

23.06.2005, 15:43

PrototypeX29A

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mit "leicht" meine ich die Brachiallösung mittels Rechnergewalt. smile

smile

Die Modulo-Betrachtungen sind schon etwas fordernder. Ich würde mich da nicht so sehr an das Dezimalsystem klammern

Eigentlich bin ich mit mod 10, 100 und 1000 und sqrts Formel recht schnell auf die Loesung gekommen. Jedoch nicht ohne Taschenrechner.

Meine Antwort ist aehnlich wie LOEDs nur etwas teuflischer.

23.06.2005, 15:50

JochenX

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Zitat:

Meine Antwort ist aehnlich wie LOEDs nur etwas teuflischer

stimmt meine denn plusminus eine kleine natürliche zahl!?

ist natürlich keine gute antwort, reicht MIR aber Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2005, 16:05

AD

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Mit Brachialgewalt meine ich sowas:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	S := 0 : n := 0 : repeat n := n+1 : S := S+n^3 : if (S > 310E18 and (S mod 1000 = 321)) then print(n,S) end_if until S >= 311E18 end_repeat :

Das braucht knapp zwei Sekunden Laufzeit und überhaupt keine Vorüberlegungen.

Mit wenigen Vorüberlegungen rechnet der PC dann nur noch ein paar Millisekunden:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

n1 := ceil((sqrt(8*sqrt(310E18)+1)-1)/2);
n2 := floor((sqrt(8*sqrt(311E18)+1)-1)/2);
for n from n1 to n2 do
  S := (n*(n+1)/2)^2 :
  if (S mod 1000 = 321) then
    print(n,S)
  end_if
end_for :

Aber die Anstrengung war eigentlich schon unnötig. smile

smile

25.06.2005, 10:42

PrototypeX29A

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Darueber was klein ist kann man sich streiten, aber zumindest ist sie kleiner als ich smile

smile

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