rotationskörper

19.01.2008, 16:48

aJay

rotationskörper

wenn ich folgende kurve um die y achse rotieren lasse und das volumen gesucht ist

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
ich brauch aber nicht
$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$
sondern
$\begin{eqnarray*} x=g(y) \end{eqnarray*}$
in diesem fall ist das ja
$\begin{eqnarray*} x=y^2 \end{eqnarray*}$

aber wie sieht das aus wenn ich
$\begin{eqnarray*} y=cos(x) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} y=2x^2+3x \end{eqnarray*}$
hab.....???

19.01.2008, 16:54

WebFritzi

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RE: rotationskörper

Zitat:

Original von aJay
wenn ich folgende kurve um die y achse rotieren lasse und das volumen gesucht ist

Welches?

19.01.2008, 16:59

aJay

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also in der aufgabe ging es um

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

das ist ja mir klar das daraus

$\begin{eqnarray*} x=y^2 \end{eqnarray*}$ wird

was aber ich solche kurven haben

$\begin{eqnarray*} y=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2x^2+3x \end{eqnarray*}$
wie komm ich da auf x=f(y)

19.01.2008, 17:18

WebFritzi

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Hey OK, wenn du meine Frage nicht beantworten willst... Kein Problem.

19.01.2008, 17:19

aJay

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hö...hab ich doch....oda hab ich deine frage net richtig verstanden????

19.01.2008, 17:21

WebFritzi

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Wllst du mich für blöd verkaufen? Ich frage nach einem Volumen und du redest mir was mit Kurven an den Hals. Wo ist da die Beantwortung meiner Frage? unglücklich

EDIT: Hört sich hitziger an als es gemeint ist. Augenzwinkern

19.01.2008, 17:24

aJay

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das volumen entsteht ja wenn ich die kurven um die y achse rotieren lasse.....

19.01.2008, 17:25

mYthos

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Da musst du die Umkehrfunktionen berechnen!

a) x = arccos(y)
b) x mittels quadr. Gleichung aus der Funktionsgleichung freistellen!

mY+

19.01.2008, 17:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von aJay
das volumen entsteht ja wenn ich die kurven um die y achse rotieren lasse.....

Das ist leider keine ordentliche Definition deines Volumens. OK, du lässt den Graphen der Funktion um die y-Achse rotieren. Dabei entsteht zunächst mal eine Fläche (eine sogenannte 2-dimensionale Mannigfaltigkeit). Da sehe ich jetzt aber kein Volumen...

19.01.2008, 17:35

aJay

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hmm aber es heisst doch rotationsvolumen

$\begin{eqnarray*} Vy=\pi *\int_{1}^{2}~x^2 ~dy \end{eqnarray*}$

19.01.2008, 17:37

mYthos

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Abgesehen von der Definition, nochmals: x freistellen, quadrieren.

mY+

19.01.2008, 17:38

aJay

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okay

19.01.2008, 17:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Abgesehen von der Definition, nochmals: x freistellen, quadrieren.

Du scheinst ja zu wissen, was er meint. Könntest du das auch der Allgemeinheit erklären?

19.01.2008, 17:48

mYthos

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Das Problem des Fragestellers ist, glaube ich, nicht, wie die Formel des Rotationsvolumens entsteht, oder zu erklären ist, sondern das Umformen der gegebenen Funktion, welche ja explizit als $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ gegeben ist, nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , damit man dann

$\begin{eqnarray*} V_y = \pi \int~x^2~dy \end{eqnarray*}$

benützen kann. Daher muss man die Funktion nach x umstellen, also die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} x = \overline{f}(y) \end{eqnarray*}$ ermitteln und das Quadrat dieses Terms dann in den Integranden stellen. Die Integrationsgrenzen sind dann natürlich die y-Werte (Ordinaten der Bergrenzungspunkte).

Diese Verständnisschwierigkeit ist verhältnismäßig oft zu beobachten.

mY+

19.01.2008, 17:57

WebFritzi

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OK, ich sehe jetzt, was gemeint ist. Und ich sehe auch, dass es nicht ganz leicht ist, das Volumen zu definieren, denn dies ist eine Frage der Orientierung (innen/außen).

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