Abstand eines Punktes von Ebene

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quasi Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand eines Punktes von Ebene
Hallo,

ich habe hier 4 Punkte gegeben, von denen 3 eine Ebene aufspannen, nun soll ich den Abstand des 4 Punktes zur Ebene bestimmen.

Wie mach ich das?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

weißt du denn allgemein wie man den abstand von einem punkt zu einer ebene berechnet?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Methode - es gibt deren mehrere - wirst du wohl kennengelernt haben?
Zeige doch erst mal eigene Ideen und Überlegungen!

mY+

Prinzip "Mathe online verstehen!"
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
weißt du denn allgemein wie man den abstand von einem punkt zu einer ebene berechnet?


eh ne, nicht so richtig.

ich hab zwar in meinen büchern so tolle formeln wie d =

aber mir fehlt es an der fähigkeit das jetzt richtig auf meinen fall anzuwenden.

wenn ich die vektoren gegeben hab. a,b,c spannen die ebene auf. und von d soll ich den Abstand ermitteln.

a = b = c = d =

ich weis nicht was ich machen soll bei dieser aufgabe....wo ich anfangen soll. ob den diese formel überhaupt die richtige ist. wenn ich google werd ich mit noch kompliziertern darstellungen dieses vektor themas konfrontiert die ich dann noch weniger verstehe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die angegebenen Vektoren sind Ortsvektoren, gehen also vom Nullpunkt zu diesen Punkten A, B, C und D. Wenn du willst, sind deren Komponenten gleichzeitig die Koordinaten dieser Punkte. Nun musst du zuerst aus den drei Punkten A, B, C die Gleichung der Ebene ermitteln.

Zum Abstand des Punktes D von dieser Ebene: Entweder mit einer Normalen von D auf die Ebene oder der Hesse'schen Normalform arbeiten. Eines davon werdet ihr ja im Unterricht durchgenommen haben.

mY+
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

ne, das haben wir in der vorlesung nicht sonderlich besprochen, müssen es aber halt können für die klausur. hab mal nach der hessischen-normalform gegoogelt.

was ich zur anwendung der HNF nicht verstehe ist, wie ich aus meiner 3-punkte form die ebenengleichung bekommen......

A + (B-A) + (C-A)

Was ich nicht verstehe ist, wie ich kommei ch von der ebenen gleichung mit meinem punkt dann distanz?

a = b = c = d =

+ +
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quasi
...
+ +


Das ist (noch) keine Gleichung. Besser so



Diese Gleichung ist nun parameterfrei zu machen. Dazu kannst du den Normalvektor der beiden Richtungsvektoren bestimmen und mit diesem die ganze Gleichung skalar multiplizieren. Die Produkte der Richtungsvektoren mit dem Normalvektor sind infolge der Orthogonalität Null. So gelangen wir zur Normalvektorform. Oder du eliminierst in dem durch das zeilenweise Anschreiben der Gleichung entstehenden System die beiden Parameter. Übrig bleibt eine Gleichung in den drei allgemeinen Koordinaten und einer Konstanten (Koordinatenform).

Wenn du dann in der auf Null gebrachten normierten Normalvektorform (diese heisst Hesse'sche Normalform) an Stelle der laufenden Koordinanten die Koordinaten von D einsetzt und den Betrag nimmst, erhältst du den gesuchten Abstand.

mY+
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

+ +


=

wenn ich den neuen vektor jetzt skalar mit der ursprungsgleichung multipliziere

* = 28

=

is das so richtig? bedeutet das jetzt, das alle elemente von X = 28 sind verwirrt
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

wie komme ich den jetzt hier hin:

>Übrig bleibt eine Gleichung in den drei allgemeinen Koordinaten und einer Konstanten

bei mir bleibt 1 Vektor mit nur einem Wert über, ist das jetzt der x wert und y, z sind 1 oder was hab ich falsch gemacht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt leider davon, wenn du nicht darauf eingehst, dass immer eine Gleichung da stehen soll!



Dies sieht doch nun anders aus, oder?

Detail am Rande: Du kannst den Normalvektor auch durch 4 dividieren ....

mY+
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das mit der gleichung war wieder so ein typisches loch wo ich gern mal rein springe



wäre dsa dann so die Formel für meine HNF verwirrt

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mal die Gleichung der Ebene. Deren HNF erhalten wir durch Division der gesamten Gleichung (vorher auf Null bringen) durch den Betrag des Normalvektors.

Beispiel









Darin werden nun links die Koordinaten jenes Punktes eingesetzt, dessen Abstand von der Ebene bestimmt werden soll. Das Ergebnis ist dann rechts statt Null der gesuchte Abstand.

mY+
quasi Auf diesen Beitrag antworten »







für meinen punkt







is das so richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile
paaaasst.

mY+
quasi Auf diesen Beitrag antworten »

danköööö Gott
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