Transformationsformel

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Pantostin Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsformel
Hallo
bei folgender Aufgabe habe ich ein Problem



Es soll der Flächeninhalt von B, mit Hilfe der Transformationsformel und einer geeigneten Abbildung Phi berechnet werden.


Ich weis gar nicht so recht wie ich da rangehen soll. Ich muss mir ja bestimmt erst mal die Abbildung Phi überlegen. Das hat vermutlich etwas mit Polarkoordinaten zu tun. Aber ich weis nicht wie ich das machen soll und wie ich dann die Integrationsgrenzen bestimmen soll.
Für ein paar Anregungen wie ich an die Aufgabe rangehen kann wäre ich sehr dankbar.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Hilft dir dies? Astroide
Pantostin Auf diesen Beitrag antworten »



Also ist das dann meine Abbildung Phi? Und a ist eins.

Muss ich t dann von 0 bis 2 Pi integrieren? Weil die fertige Formel für den Flächeninhalt kann ich nicht verwenden.

Und diese Abbildungsvorschrift also x=(cos t)^3. Gibt es da eine möglichkeit sich das selber irgendwie zu überlegen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pantostin


Also ist das dann meine Abbildung Phi? Und a ist eins.

Ich verstehe leider nicht, was genau mit "geeigneter Abbildung" und "Transformationsformel" gemeint ist. Wenn es nur um die Berechnung der Fläche geht, könntest du es mit unter Berücksichtigung der obigen Parameterdarstellung mit a=1 versuchen, zur Kontrolle:

Aber vielleicht ist auch gemeint, dass du komplett neue Koordinaten u,v mit x=u*(cos v)^3 und y=u*(sin v)^3 einführen sollst, und das Flächenelement dx*dy in den neuen Koordinaten ausdrücken sollst, was doch wesentlich anspruchsvoller wäre.

Zitat:
Original von Pantostin
Und diese Abbildungsvorschrift also x=(cos t)^3. Gibt es da eine möglichkeit sich das selber irgendwie zu überlegen.

Ja, du kennst doch die Beziehung

Vergleiche das mal mit
und umgeformt zu
Pantostin Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Transformationsformel meine ich folgendes

http://www.moses.tu-berlin.de/Mathematik...rafo/Trafo.html

Und diese soll zur Lösung verwendet werden. Ich weis aber nicht wie ich das machen soll.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Na wunderbar, dann ist es also doch anspruchsvoller.

Rechne mal mit f(x,y)=1
,

wobei du neue Koordinaten u,v mit einführst, die Determinante det(...) entsprechend dem Link mit den partiellen Ableitungen nach u und v bildest, und für den Integrationsbereich u=0..a mit a=1 und v=0..2pi nimmst.

Polarkoordinaten r,phi würde ich bei diesem Beispiel nicht nehmen ( versuch es selbst einmal, dann siehst du, warum).
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte eine kleine Variante zu etzwanes Transformation anzubieten:



Dann wird nämlich die Funktionaldeterminante und damit auch der Integrand "besonders einfach". Die Integrationsgrenzen sind wie bei etzwane .

Im übrigen halte ich den ganzen hier betriebenen Aufwand für unnötig. Durch



wird wegen der Unempfindlichkeit der Beträge gegenüber Vorzeichenänderungen eine bezüglich der - und -Achse symmetrische Menge beschrieben. Es genügt daher, den Flächeninhalt des Teils im I. Quadranten zu berechnen und ihn zu vervierfachen. Das ist aber gerade der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion



Es geht daher mit elementarer eindimensionaler Integralrechnung. Zu berechnen ist



Und hier kommt man mit der Substitution weiter.
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