rg(AB)<min(rg(A),rg(B))

23.06.2005, 23:34	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
rg(AB)<min(rg(A),rg(B)) Hallo, habe gerade zwei knifflige Fragen, hier die erste.... Es seien Matrizen $\begin{eqnarray} A \in M_{m,n} (\mathbb R ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in M_{n,k}(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ gegeben. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} rg(AB)\leq min(rg(A),rg(B)) \end{eqnarray}$ ist. Danke schonmal für eure Hilfestellungen.
23.06.2005, 23:40	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe mal hier: ungleichung
23.06.2005, 23:51	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
halo phi..hattest du das denn zu ende gelöst??hoffe du hattest es zu ende gelöst ich schau mir das mal kurz an..
24.06.2005, 12:27	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Tip) AB ist die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen, also kann rg(AB) .... 2. Tip) Der von den Spalten von AB erzeugte Unterraum ist in dem von den Spalten von A erzeugtem Unterraum von K^n enthalten. 3. Tip) Konstruiere ein einfaches Beispiel für n=2, und schau was da genau passiert.
24.06.2005, 21:55	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du mit Hintereinanderausführen:"die Matrizenmultiplikation gerade so definiert, dass sie der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen entspricht"
24.06.2005, 22:03	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und kann bei einer Matrizenmultiplikation ein größerer Rang als rg(a) oder rg(b) entstehen?
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24.06.2005, 22:08	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
dafür müsste ich mal nch rechnen..bei einer Matrizenmultiplikation kann kein größerer Rang als rg(a) oder rg(b) entstehen oder gleich rang(a) oder rg(b) es ist glaube ich wie ZB:dimension von $\begin{eqnarray} F_A \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} F_B \end{eqnarray}$ oder VCw dim W ist größer als oder gleich V also im endeffekt muss ich doch zeigen:rg ( $\begin{eqnarray} F_AF_B \end{eqnarray}$ )<= min {rg( $\begin{eqnarray} F_A \end{eqnarray}$ ),rg ( $\begin{eqnarray} F_B \end{eqnarray*}$ )}
24.06.2005, 22:23	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch so sagen: Der von den Spaltenvektoren von A (oder von B) erzeugte Unterraum U ist eine Linearkombination der kanonischen Einheitsvektoren. Dervon den Spaltenvektoren von AB erzeugte Unterraum U' ist wiederrum eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A, wobei es vorkommen kann das sich die LK´s von manchen Spalten sich gegenseitig aufheben können, und dadurch der Rang von AB kleiner als rg A, rg B.
24.06.2005, 22:27	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
habe ich das richtig verstanden phi?der rang zählt als unterraum oder?? reicht das denn wenn ich das einfach argumentiere statt irgendwas zu beweisen??
25.06.2005, 15:28	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ein Unterraum hat einen eigenen Rang, der kleiner werden kann wenn solch ein Unterraum durch Linearkombinationen entsteht. Ich glaub das ist schon der Beweis.
25.06.2005, 20:51	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
okay werde mir das mal in ruhe ansehen

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