invertierbar wenn rg(A)=n

Neue Frage »

Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
invertierbar wenn rg(A)=n
und hier die zweite...

1. Zeigen Sie: ist genau dann invertierbar, wenn ist.

2. Sei . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) Die Spalten von bilden eine ON-Basis von .
(b) Es ist .
(c) Es ist .
(d) Die Zeilen von A bilden eine ON-Basis von .
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

eigene ideen?

hast du dir eigentlich schon mal den userguide durchgelesen?
wir lösen nicht deine aufgaben einfach für dich, sag also bitte ab sofort immer dazu, was su dir denn schon überlegt hast!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen A wäre die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung, was bedeutet dann rg(A)=n in Bezug auf Bijektivität, Isomorphismus und Umkehrbarkeit ?

PS: Snooper, was hast du für ein LA-Buch?

Was steht dazu im Script? Was steht dazu im LA-Buch?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

A () invertierbar<=>esgibt A'() mit A'A=AA'=En

A invertierbar<=>rg(A)=n

Hat eine lineare Umkehrabbildung <=>rg ()=n

dim Im ()+dim Kern()=n

ist surjektiv und injektiv....so das alles habe aus dem skript zusammengefasst bezüglich der Aufgabe und weiss jetzt nicht wo genau ich anfangen soll.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Das wenn das A'A=AA'=En, und A invertierbar<=>rg(A)=n ist, und

Hat eine lineare Umkehrabbildung <=>rg ()=n gilt ist ein guter Ansatz; und F ist damit ein Isomorphismus , und damit bijektiv.

(In dem Buch das ich habe ist "f bijektiv <=> rg f = n")
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt bezogen hierauf isomorhismus ist es weil es eine umkehrabbildung hat?
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

okay bis jetzt habe ich verstanden..du meintest es ist ein guter ansatz, aber was würde denn jetzt folgen??
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also für teil a)habe ich folgendes gelöst:A invertierbar<=>rg(A)=n

Beweis:
Sei Rang(A)=n.Dann ist f ein Isomorphismus,und es existiert also der zu f inverse Automorphismus .Sei A' die Darstellungsmatrix von bezüglich Basis B.Dann folgt,dass sowohl AA' als auch A'A Darstellungsmatrizen sind der Identität sind.Also ist sowohl AA' als auch A'A eine Einhietsmatrix,dh. A ist invertierbar.


habe jetzt nur die eine richtung gezeigt.(rg(A)=>A invertierbar.

muss ich die andere richtung auch zeigen?natürlich wenn der beweis oben stimmt??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich wende da mal ein, wenn ich darf:
Zitat:
phi:
(In dem Buch das ich habe ist "f bijektiv <=> rg f = n")

genau dass ist im endeffekt zu zeigen, also irgendwie könnt ihr das kaum als gegeben hinnehmen?
meines erachetns geht das noch viel leichter: eine quadratische matrix mit vollem rang hat als treppe die einheitsmatrix (definition vom rang)
=> es existieren (invetierbare!) elementarmatrizen C1,C2,C3,... mit ......
=> (C1*C2*C3*...) ist......
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also loed..oder phi kann mir vieleicht jemand sagen ob mein beweis richtig ist??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also meine meinung habe ich schon gesagt

aber zur ausdrucksweise: A ist ein isomorphismus ist sicher falsch
wenn dann: A ist darstellungsmatrix eines isomorphismus

mfg jochen
phi Auf diesen Beitrag antworten »

=> es existieren (invetierbare!) elementarmatrizen C1,C2,C3,... mit ......
=> (C1*C2*C3*...) ist...... ebenfalls invertierbar & damit auch A.

Aus rg(A)=n folgt zunächst das die Abbildung f ein Isomorphismus ist und es existiert also der zu f inverse Automorphismus , dann existiert eine Darstellungsmatrix A' mit A'A=E u.s.w.....A invertierbar . Ja, snooper diese Richtung hast du damit bewiesen.

Sei nun umgekehrt A ist invertierbar gegeben...dann existiert____...hast du eine Idee wie´s weitergeht?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aus rg(A)=n folgt zunächst das die Abbildung f ein Isomorphismus ist

das ist ja eigentlich schon so gut wie alles; wenn du das also voraussetzt müsstest du das eigentlich beweisen, denn ich halte das in dem zusammenhang nicht zu den grundlegenden eigenschaften einer solchen matrix verwirrt
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der Beweis des Satzes "rg A=n => f ist Isomorphismus" bezieht sich auf den vorvorletzten Satz...( Wenn A eine Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f:V-->W ist, so gilt dim(Bild(f))=rg(A) .)

Dies wird gezeigt in dem man zunächst überlegt, dass der von den Spalten s1, s2, ..., sn von A aufgespannte Unterraum U von K^m isomorph ist zu dem Unterraum W' von W, der von den Bildern f(v1), f(v2), ..., f(vn) der Basisvektoren erzeugt wird.

Und dann in dem Satz über die Charakterisierung von Isomorphien folgt dann aus dem vorigen Satz das die Bilder der Basis B linear unabhängig sind und einen Unterraum der Dimension n von W erzeugen. Da dim(W)=n ist, sind die Bilder von B eine Basis von W. Nach der Charakterisierung einer linearen Abbildung durch die Bilder einer Basis ist f bijektiv.

Auch in der Beweisrichtung : Voraussetzung: A ist invertierbar, zeige das dann rg A=n...., kommt als ein Satz des Beweises " ...f ist ein Isomorphismus, daraus folgt wie wir bereits wissen rg A=n. (Vergleiche hierzu den Satz über die Invertierbarkeit bijektiver Abbildungen aus Abschnitt 1.3) "

Hmm, ... gar nicht so einfach aus dem Buch eine kurze Beweiskette aufzubauen.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen...

jetzt haben wir ja den ersten teil soweit besprochen.Nur @phi:du meintest ja die eine richting von mir wäre richtig bewiesen..dann reicht ja eigentlich die andere richtung zu beweisen dann fertig mit teil 1 oder?die habe ich nämlich auch parat wenn ihr die sehen wollt schreibe ich es auf.So meine zweite Frage wäre"Was ist den m dem zweiten Teil der Aufagabe?"
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

welche teile hast du denn schon von 2?
ansätze? ideen? irgendwas?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also fange mal an....A ist symetrisch A^t=A

(A*B^-1)*(A*B^-1)^t=E
<=>A*B^-1*B*A^t=E
<=>A*E*A^t=E<=>A*A^t=E

A ist invertierbar denn es gilt A^t*A=A*A^t=E mit A^t=A^-1

also habe damit angefangen das mit orthogonalität kein plan?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invertierbar wenn rg(A)=n
Zitat:
Original von Snooper
2. Sei . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) Die Spalten von bilden eine ON-Basis von .
(b) Es ist .
(c) Es ist .
(d) Die Zeilen von A bilden eine ON-Basis von .

das war ja die aufgabe

ich habe keinerlei plan, wo du deine aussagen hernimmst.....
woher nimmst du A=A^t verwirrt , also wo liest du was von symmetrie von A?
was soll dieses B?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invertierbar wenn rg(A)=n
das habe ich aus so einem La Skript aus der uni seite.stimmt das nicht??dann nheme ich alles zurück.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ne, da sind auch fehler drin, vermutlich tippfehler, aber das bringt dir HIER rein gar nix
setze doch mal an: du sollst hier äöquivalenz zwischen jeder aussage zeigen, da gibt es mehrere arten, das anzugehen

z.b. könntest du zunächst mal leicht die äquivalenz von (b) und (c) zeigen
mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe dann die äquivalenz von (c)<=>(d)

(a)<=>(b), (a)<=>(b)

nur wenn ich ich jetzt erstmal mit (b)<=>(c) anfange wie gehe ich den hervor?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie gehe ich den hervor?

auf deutsch heißt das was?

bei so etwas bietet sich oft ein ringschluss an.....

so ala: zeige (i)<=>(ii)<=>(iii)
dann zeigst du:
(i)=>(ii) und (ii)=>(iii) und (iii)=>(i)
warum das ausreicht darfst du dir selbst überlegen....

wie das bei solchen aufgaben am praktischsten ist sieht man meist nicht sofort
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

hallo zusammen

also (b) <=> (c) habe ich hinbekommen.

rg(A) =n => A^-1 existiert => A^t = A^-1

...steht auf meinem zettel selbstverständlich etwas ausführlicher.

ich weiß also, das A eine "orthogonale Matrix" ist.

aus rg(A) = n => A hat n linear unabhängige spaltenvektoren/zeilenvektoren. die dinger sind also eine basis des R^n. jetzt muß ich zeigen, daß die vektoren auch orthogonal zueinander sind.
seien a_i die jeweiligen spaltenvektoren
ich muß also zeigen, daß das skalarprodukt <a_i , a_j> = 0 ist für i != j und 1 für j = i.
einen spaltenvektor erzeuge ich, indem ich A mit dem entsprechenden einheitsvektor multipliziere:

a_i := A*e_i

also:

<A*e_i , A*e_j> = 0 für i != j und 1 für i = j

...und an der stelle geht es bei mir nicht weiter.

grüße simon
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bedenke, dass A*A^t=I ist; schau dir also mal die erste zeile von A an....

X*Y=Z
der erste eintrag von der ergebnismatrix Z ergibt aich aus dem standardskalarprodukt von der ersten zeile von X und der ersten spalte von Y.

in deinem fall sind dies beides die erste zeile von A....

vielleicht kannst du das ja mal übertragen auf beliebige zeilen.....
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

thanks. habe soweit alles unter dach und fach.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

@ Snooper: Poste ruhig Aufgabe 1 mit hin- und zurück-Beweis. (Die oben besprochene Richtung hab´ich jetzt auch ergänzt und zusammengefasst)

@ glocke & LOED: Wenn i=j, dann wird die i-te Zeile quadriert und es kommt an der i-ten, (j-ten) Stelle eine 1, ansonsten eine 0. (?)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

eine zeile quadrieren... naja......
aber i-te zeile *j-te spalte der transponierten ist 1, wenn i=j, sonst 0
das folgt aus A*A^t=E

damit bekommst du genau die argumentation, denn j-te spalte der transponierten = j-te zeile der ursprungsmatrix
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, die Elemente einer i-ten Zeile werden quadriert: 0 mal 0, ..., 1 mal 1, ..., 0 mal 0.

Ansonsten, ja genau.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo loed..jetzt bin ich völlig durcheinander über welche Äquivalenz habt ihr denn geschrieben?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Ähm, die Elemente einer i-ten Zeile werden quadriert: 0 mal 0, ..., 1 mal 1, ..., 0 mal 0.

die i-te zeile ist nicht der i-te einheitsvektor, oderr missverstehe ich dich?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Die i-te Zeile mal der i-ten Zeile (= j-te Spalte für i = j ) ergibt den i-ten Einheitsvektor.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

hallo phi checke mal bitte deine nachrichten..
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Die i-te Zeile mal der i-ten Zeile (= j-te Spalte für i = j ) ergibt den i-ten Einheitsvektor.

nein wenn du eine skalarproduktberechnung durchfürhst, dann kommt eine ZAHL raus
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

Leute so komme ich nicht weiter.Loed hatte dich eben gefragt was ihr da für beweise durchführt?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo snooper lies dir das mal genau durch oben
wie schon im userguide steht, verraten wir dir eigentlich keine musterlösungen einfach so - ein bisschen was musst du schon noch selbst machen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich möchte auch keine musterlösungen von euch.wäre natürlich gut angebracht aber das hilft mir nicht weiter loed.ich muss die aufgaben auch verstehen.schliesslich muss ich die klausur alleine schreibensmile

naja jetzt den zweiten teil..was hat da glocke für beweise geschrieben bezieht sich das auf (b<=>(c)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein und wie ich dich gebeten hatte:
finde selbst raus, auf was sich das alles bezieht

b) <=> c) hatten wir beide (glocke und ich) hier noch nicht erwähnt, denn das ist an sich relativ trivial
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

reicht es denn zu sagen bei A^t*A=E

Eine matrix A element M(nxn,R) ist genau dann orthogonal,wenn die Spalten(Bilder der Einheitsvektoren!)ein orthonormales System bezüglich des üblichen Skalarprodukts im R^n bilden,dh wenn A^t*A=E gilt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
reicht es denn zu sagen bei A^t*A=E

was meinst du denn mit bei?
sag doch einfach immer die buchstaben der teile zwischen denen du beweist dazu....
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »