Körper

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mapp Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hi,
Wir machen in der Schule unter anderem Körper-Aufgaben, leider haben wir da kein passendes Buch dazu und der Lehrer erklärt das total kompliziert, daher wollte ich mal fragen ob ihr eine gute Seite kennt wo das ganze erklärt wird.
(also die Körpergesetze, und was ein Körper überhaupt ist bzw wie man feststellt, ob ne bestimmte Menge ein Körper ist)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

bei allgemeinen fragen kann ich hierauf verweisen:

http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29

wenn du von uns konkrete hilfe erwartest, dann stelle auch mal eine konkrete aufgabe hier rein.
 
 
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also wenn ich da zB ein Beispiel habe, wo gefragt wird ob M = {0,1,a,b} ein Körper ist, wie finde ich das raus?

Oder wenn die Frage ist, welche Gesetze bei {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} erfüllt sind?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ein Körper besteht immer aus einer menge und 2 inneren verknüpfungen.

d.h. man kann eine menge nur auf die körperaxiome prüfen, wenn man auch 2 verknüpfungen gegeben hat.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... und wie erkennt man eine Verknüpfung? o.o

Und wenn ich diese Verknüpfungen dann habe, also einen Körper habe, wie finde ich dann raus welche Gesetze da zutreffen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

die verknüpfungen müssen angegeben sein.

wenn dem nicht so ist, dann gibts da auch nichts zum überprüfen.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann eine normale Zahlenmenge (zB {0,1,2,3,4,5,6}) kein Körper sein? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ja. wie schon gesagt: eine menge allein (ohne jegliche struktur) bildet nie einen körper.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Ist aber merkwürdig.. ich hatte nämlich mal ne Testfrage die lautete:
"Welche Gesetze werden bei nicht erfüllt?" verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist damit wohl ein restklassenring gemeint:

http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring

die verknüpfungen auf dieser menge sind sozusagen "vordefiniert", sodass sie nicht explizit angegeben werden. das habt ihr dann bestimmt aber auch mal im unterricht besprochen, oder?
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, sowas in der Art haben wir mal gemacht.
Aber wie komme ich da zu einer Lösung? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

enthält ja "nur" 6 elemente.

da kannst du dir z.b. eine verknüpfungstabelle anlegen und dann die körperaxiome nacheinander überprüfen.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung.. aber ich muss für jedes Gesetz eine eigene Tabelle machen oder?
Also die Assoziativ-Tabelle hab ich jetzt schon mal..

Und wie überprüfe ich die Axiome dann? xS
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du musst eine tabelle für addition und eine tabelle für multiplikation machen.

was meinst du mit "assoziativtabelle" ?
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so.. meinte die Additionstabelle ^^

Und wenn ich die Tabellen nun habe? Wie gehts weiter?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

naja mit denen kannst du hauptsächlich nach neutralen und inversen elementen suchen.

assoziativität und kommutativität kannst du direkt mit der definition der addition und multiplikation (unter ausnutzung des kommutativ- und assoziativgesetzes für die ganzen zahlen) nachweisen.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. eigentlich treffen ja ALLE Eigenschaften auf diese Zahlen zu oder? o.o

Also neutral und invers sind die ja alle... und die Gesetze lassen sich auch überall anwenden...
Oder hab ich da was falsch verstanden? o.o
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

dann finde mal ein multiplikativ inverses zu 3.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte doch einmal 2*3 in Z_6
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. also wenn da ne 0 rauskommt ist es nicht invers?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

hmm so kann man das nicht sagen. kiste wollte auf die nullteilerfreiheit eines körpers hinaus.

d.h. das produkt zweier von null verschiedener zahlen ist in einem körper nie null. das wäre hier z.b. ein widerspruch.

aber wenn du genau angeben sollst, welche körperaxiome nicht erfüllt sind, dann hilft dir das nichts, da die nullteilerfreiheit kein körperaxiom ist, sondern sich aus diesen folgern lässt.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann es gar kein Körper sein!? o.o

Aber es muss doch ne richtige Antwort auf die Frage geben.. =S
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist denn die frage genau?

Zitat:
Prüfe ob ein Körper ist.


Zitat:
Gebe die Körperaxiome an, welche in nicht erfüllt sind.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so:
Zitat:
Welche Gesetze werden bei nicht erfüllt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

dann verrate ich dir jetzt einfach mal, dass bezüglich der addition alle gesetze erfüllt sind.

also musst du noch betrachten:

neutrales element der multiplikation
zu jedem element gibt es ein inverses element der multiplikation
assozitivgesetz der multiplikation
kommutativgesetz der multiplikation
distributivgesetz
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... also assoziativ, kommutativ und distributiv ist erfüllt nehm ich mal an.. O.o
Neutral.. auch!?
Und was das Inverse betrifft... hm.. weiß nicht so genau.. o.o

Irgendwie versteh ich das mit den Tabellen nicht ganz.. was genau soll man da wie genau davon rauslesen können? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist denn das neutrale element der multiplikation?
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Naja... für alle Elemente gilt ja x+0 = x
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry... x * 1 = x meinte ich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

genau also muss zu jedem element x ein element y existieren mit

wähle als beispiel x=3 und zeige, dass dem nicht so ist.
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso auf einmal x*y=1 ?
Naja, dann würde es ja nur bei 1 und 5 gehen, weil bei 1*1 und bei 5*5 ne 1 rauskommt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mapp
Wieso auf einmal x*y=1 ?

das ist doch gerade bedingung des inversen elements.

Zitat:
Original von mapp
Naja, dann würde es ja nur bei 1 und 5 gehen, weil bei 1*1 und bei 5*5 ne 1 rauskommt.


ja das stimmt. was sagt das dir? ist das Körperaxiom "Zu jedem Element existiert das multiplikativ Inverse" erfüllt oder nicht?
mapp Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so... hab da statt y stehen.. x)

Nope, ist nicht erfüllt.. x)
Das neutrale ist dann auch nicht erfüllt, weils ja nur bei 3,4 und 5 ne 0 gibt.. stimmts?

Und für die assoziativ, kommutativ und distributiv-Gesetze braucht man die Tabelle nicht oder? ...
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