Erläuterung zur Ableitung von e^x

24.06.2005, 14:47

mercany

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Erläuterung zur Ableitung von e^x

Guten Tag,

mich würde interessieren, warum die Ableitung von f(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ebenso $\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x \end{eqnarray*}$ ist.
Wo steckt da die Begründung?

Gruss
mercany

/edit: schnell noch aus dem term eine fkt. gemacht, bevor loed es merkt Big Laugh

Big Laugh

24.06.2005, 14:53

JochenX

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ich würd sagen, dass ist einfach so, das ist das besondere an dieser speziellen exponentialfunktion

allgemeine exponentialfunktion ist ja: f(x)=a^x mit einer positiven reellen zahl a
wählst du a=e, dann tritt eben gerade dieser besondere fall auf
deswegen auch die besondere bedeutung der e-funktion unter den vielen anderen exponentialfunktionen

s. auch wikipedia

mfg jochen

ps: ich lasse mich aber auch gerne eines anderen belehren ^^

24.06.2005, 14:56

mercany

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Okey, dann nehm ich das jetzt mal so hin! smile

smile

Danke schön für die Aufklärung, Wikipedia werd ich mir auch nochmal durchlesen.

Gruss
Jan

24.06.2005, 14:59

JochenX

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noch eine idee:
vielleicht, wenn man die e-funktion als potenzreihe umschreibt!?

aber da lasse ich die analysisfachleute vor......

vermutlich kann man auch über den ansatz:
f(x)=a^x, f'(x)=a^x mit einem numerischen näherungsverfahren a beliebig nah an e=2,718.... approximieren

aber da wiederum würde ich den numerikern den vortritt lassen..... smile

smile

wenn das auch unfug ist, dann Forum Kloppe

Forum Kloppe

mich

24.06.2005, 15:01

pippo

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Das hat einen ganz einfach Grund:

Die Ableitung von a^x = ln(a)*a^x
Im Fall, dass a=e ist ln(a)=1 und ürbirg bleibt e^x

24.06.2005, 15:03

JochenX

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Zitat:

Die Ableitung von a^x = ln(a)*a^x

so wies da steht isses unsinn, aber klar, was du meinst

allerdings berechnet man die ableitung von f(x)=a^x über umschreibung zu einer e-funktion....

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24.06.2005, 15:04

pippo

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Was ist daran Unsinn? So haben wirs gelernt und so stehts auch im Papula

24.06.2005, 15:32

n!

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vielleicht meint Jochen diese Herleitung:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (e^x)'= e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...)' \end{eqnarray*}$

Nach differenzieren ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=(0+1+2*\frac{x}{2!}+3*\frac{x^2}{3!}+...) \end{eqnarray*}$

ein bisschen umformen:

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=(0+1+2*\frac{x}{2*1!}+3*\frac{x^2}{3*2!}+...) \end{eqnarray*}$

Kürzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...) \end{eqnarray*}$

und das ist wieder $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

24.06.2005, 15:33

JochenX

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schau mal bitte den wikipedialink oben an, da steht ganz klar:
f=e^x abgeleitet: f'=e^x
und DAMIT wird dann mithilfe von logarithmus und kettenergel deine allegmeine ableitung von f=a^x hergeleitet

du kannst das also nicht auch umgekehrt anwenden!

das ist etwa folgendes prinzip:
nehme an A stimmt; zeige DAMIT B; zeige dann mit B, dass A stimmt
das geht leider so nicht!

edit: danke n! sowas meinte ich, supe
aber das einzelne x ist noch zu viel, dafür hast du ja nachher das (2x)/2!

24.06.2005, 15:36

n!

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stimmt,hab's editiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2005, 16:20

Sjomka

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Das ist doch diese MC lawrin reihe oder wie die heißt oder?

24.06.2005, 17:34

etzwane

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Ganz interessant, also will ich mal versuchen, die Ableitung von z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, ohne auf weitergehendes Wissen zurückzugreifen.

Es sei also $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ , dann wird
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{2^{x+h}-2^x}{h}=\lim_{h \to 0} 2^x \cdot \frac{2^h-1}{h}=2^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{2^h-1}{h} \end{eqnarray*}$

Und wie bestimmt man jetzt diesen Grenzwert ganz rechts ohne weitergehende Kenntnisse ? Wer kann helfen ?

Ich probier es numerisch (geht natürlich nur deshalb so einfach, weil ich einen TR habe):
h=0,1 -> G=0,717...
h=0,01 -> G=0,695...
h=0,001 -> G=0,693...
h=0,0001 -> G=0,693...

Somit erstmal genau genug: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0,693...*2^x \end{eqnarray*}$

24.06.2005, 19:19

Frooke

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Ich schreib noch etwas hin, was aber nicht sehr weit geht:
Für
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$
findet man für die Abeitung den Differentialquotienten:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \end{eqnarray*}$
und ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}a^x\frac{a^h-1}{h} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^x \underbrace{\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}}_{=c} \end{eqnarray*}$
c ist dabei eine Konstante! Nun leuchtet es ein, dass es ganz praktisch wäre, falls c = 1, denn dann entspräche eben die Ableitungsfunktion der Ursprungsfunktion!
Und man kann zeigen, dass eben
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1 \end{eqnarray*}$
und ferner
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a \end{eqnarray*}$
Die euler'sche Zahl wurde also so gewählt, dass eben dieses c = 1.

Hier wurde auch mal etwas über e diskutiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wie eben LOED gesagt hat, kann man dann darüber auch gewisse Ableitungsregeln für IR beweisen...hier ist etwas dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2005, 19:30

Seppl

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Antwort
Hi!

Das ganze geht auch anders: Schau dir die Ableitung des Logarithmus und dann den Satz über die Ableitung von Umkehrfunktionen und schon bist fertig smile

smile

24.06.2005, 19:58

Frooke

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@Seppl: Etwas trügerisch, denn für den natürlichen Logarithmus muss man bereits e kennen. Es ist vielmehr so, dass man von der Erkenntnis:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\mathrm{e}^x, f'(x)=\mathrm{e}^x \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln x, f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
kommt und nicht umgekehrt!
Denn
$\begin{eqnarray*} \ln x = \log_\mathrm{e}x \end{eqnarray*}$
und da braucht man e eben schon...

24.06.2005, 21:13

4c1d

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Hm, und wie steht es, wenn man vorher erst $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ (mit der bekannten Beschränkung auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (0;\infty) \end{eqnarray*}$ ) als eine Stammfunktion zu 1/x definiert ? smile

smile

Dann könnte man e^x andersherum daraus herleiten

24.06.2005, 21:22

JochenX

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ln oder auch log_e ist aber eine ganz klare funktion!

denn der logarithmus einer zahl x zu einer basis a ist nun mal ganz klar diejenige zahl y, sodaß a^y=x ist.

in unserem falle ist die basis e.

damit kan man nicht groß rumspielen.

25.06.2005, 10:00

mercany

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Oki, danke für die vielen interessanten Antworten!

Dann weiß ich jetzt einigermaßen bescheid, und werd mir dazu noch ein bischen was durchlesen.

@Mike
Danke für die Links, gleich mal angucken. smile

smile

Gruss
Jan

25.06.2005, 12:05

4c1d

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@LOED : Das stimmt, aber zunächst einmal wäre "ln" dann ja nur ein Name. Ich frage das, weil ln bei mir in der Schule tatsächlich so definiert wurde - und exp(x) (zunächst einmal nicht e^x) als Umkehrfunktion zu lnx. Danach wurde dann nachgewiesen (den Weg habe ich leider nicht mehr im Kopf), dass lnx eigentlich auch eine Logarithmus- und exp(x) auch eine Exponentialfunktion ist.

25.06.2005, 12:10

Frooke

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Du meinst wohl sowas wie den Post von Leopold hier! (Also der dritte auf der Seite)... Der macht das auch so... Aber ich denke schon, dass dieser Weg erst mit der Kenntnis von e begehbar wurde (EDIT: Nein sorry, stimmt so nicht! Leopolds Weg ist durchaus auch von null an begehbar, aber ich mags persönlich lieber über die Ableitung der Exponentialfunktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

)... Denn eigentlich sollte von mir aus (wie LOED sagt) schon exp vor ln definiert werden... (Weil Euler - glaube ich - auch so vorgegangen ist)

25.06.2005, 14:39

4c1d

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Zitat:

Du meinst wohl sowas wie den Post von Leopold hier! (Also der dritte auf der Seite)

Ja, den hatte ich zwar noch nicht gelesen, aber sowas meinte ich; das ist ein sehr guter Post.

Zitat:

Denn eigentlich sollte von mir aus (wie LOED sagt) schon exp vor ln definiert werden

Naja, aber wenn das eine genau aus dem anderen folgt und umgekehrt, ist es ja eigentlich egal, wie man anfängt bzw. 'Geschmackssache' Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2005, 14:46

Frooke

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Ja genau! Das ist keine Frage, was da besser, was schlechter sei... Mir persönlich gefällt's über die Ableitung besser, aber eben... Da gibts kein korrekter oder unkorrekter... Ist alles ok Augenzwinkern

Augenzwinkern

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