Homomorphismen

24.06.2005, 18:26

Moeki

Homomorphismen

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ : A $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ B und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ : A $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ C Homomorphismen, wobei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ surjektiv ist und $\begin{eqnarray*} \ker \beta \subseteq \ker \alpha \end{eqnarray*}$ gilt.
Man beweise, dass dann ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ : C $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ B existiert mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \gamma \circ \beta \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \alpha = \gamma \circ \beta \end{eqnarray*}$ kann nur ein Druckfehler sein oder? richtig müsste es doch lauten $\begin{eqnarray*} \gamma = \alpha \circ \beta \end{eqnarray*}$ . dann wäre $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nämlich die auseinanderausführung der beiden abbildungsvorschriften $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

Vielleicht sollte man dem Verständnis wegen, erstmal die Aufgabe klären.

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bildet ein Objekt aus A in B ab.
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bildet ein Objekt aus A in C ab.
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall c \in C: \exists a \in A: \beta (a) = c \end{eqnarray*}$ (für jedes Bild gibt es also ein Urbild)

Der Kern eines Homomorphismus h: X $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Y ist eine Kongruenzrelation von X.

$\begin{eqnarray*} \ker \beta \subseteq \ker \alpha \end{eqnarray*}$ heisst dann, dass ...

Da verliessen sie ihn. Wieder einmal. Leichte Klappse auf den Hinterkopf erhöhen das Denkvermögen, also bitte Forum Kloppe

Schönes Wochenende.

24.06.2005, 18:56

phi

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Nee ist kein Druckfehler, die Bezeichnungen sind nur ein wenig verwirrend gewählt, da man bei der Definition einer Doppelabbildung sonst von A nach B und dann von B nach C abbildet und dadurch eine Abbildung von A nach C beschreibt.

Hier wird stattdessen zuerst von A nach C abbgebildet und dann von C nach B, also insgesamt von A nach B.

Und da es diesen Homomorphismus von A nach B gibt --> muß es einen Homomorphismus Gamma geben von B nach C.

Wird´s jetzt klarer?

27.06.2005, 13:38

Moeki

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RE: Homomorphismen
Von A über C nach B.

Gegeben sind die Abbildungen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ : A $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ B und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ : A $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ C und ich muss zeigen dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ : C $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ B ein Homomorphismus ist.

Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ : C $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ B existiert mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \gamma \circ \beta \end{eqnarray*}$ , dann sollte ich das doch eigentlich nach $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ umstellen können, wobei ich berücksichtigen, dass der Kern von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ Teilmenge des Kerns von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist?

Irgendwie total verwirrend.

27.06.2005, 14:14

phi

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RE: Homomorphismen
Von A über C nach B. Genau.

Möglicherweise ist auch der Kern von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ Teilmenge des Kerns von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Da Beta surjektiv ist kann man vielleicht die zu Beta inverse Abbildung ins Auge fassen $\begin{eqnarray*} \alpha\beta^{-1}= \gamma \end{eqnarray*}$ ...was natürlich besser wäre wenn man noch Beta ist injektiv zeigen könnte...muss ich auch nochmal drüber nachdenken.

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