Funktionsuntersuchung - Seite 2

26.06.2005, 20:16

Frooke

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Zitat:

Original von brunsi
was bedeutet denn die linke seite? kenen das symbol nicht??!!
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \ell(x):=\ln(x) \end{eqnarray*}$

Das ist einfach irgendeine Funktionsbezeichnung! Ich wollte einfach nicht f nehmen (weil unsere andere Funktion schon f heisst...)... Dann hab ich mal dieses hübsche l genommen smile

smile

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} \mathbb D_{t>0}: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 5+t} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 5-t} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

kannst du mir hie rnoch mal genauer erklären, wie du auf die -unendlich kommst? stellt das die annäherung von rechts bzw. von links an diese stellen dar?

Ich mache mal einen vor:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 5+t} f_t(x)=\lim_{x \nearrow 5+t} \ln\bigg((x-5)^2-t^2\bigg)=\lim_{x \nearrow 5+t} \ln\bigg((x-5-t)(x-5+t)\bigg)="\ln(0^+)"=-\infty \end{eqnarray*}$
Du kannst ja da jeweils nur von «unten» oder «oben» her kommen, weil die Funktion ja auf der jeweils anderen Seite gar nicht definiert ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Insofern könnte man auch direkt schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 5+t} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 5-t} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$
aber so wie wir's jetzt gemacht haben ist es genauer smile

smile

EDIT: Noch etwas genauer hingeschrieben...

EDIT: Noch was:
Schau mal den Plot des Logarithmusarguments für t=1 an:

Du siehst hier, dass für x -> 4 diese Argumentfunktion von «oben» her kommt.
Und für x -> 6 kommt sie ja (weil man von rechts her annähert) auch von «oben»... Also beide male ln(0+)... Und Du weisst ja wie die Logarithmuskurve gegen null aussieht... Sie geht eben gegen -unendlich... Auch dazu noch'n Plot

27.06.2005, 08:30

brunsi

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gut, damit hätten wir dann das verhalten an den rändern des definitionsbereichs fertig gestellt.

jetzt kommen nachher noch ein paar weitere untersuchungspunkte hinzu.

edit: noch ein einschub:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 5} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 5} f_t(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

muss das da nicht jeweils gegen + unendlich streben, wegen der Binomischen Formel?

27.06.2005, 10:02

Frooke

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Was sollst Du denn noch machen?

Ausserdem ist das mit den Rändern evtl. nicht ganz fertig... Man muss vielleicht - je nach Aufgabenstellung - noch die Asymptoten angeben (wobei es nur vertikale gibt). Auch hier wieder unterscheiden für t=0, t>0, ...

27.06.2005, 10:08

brunsi

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was danach ncoh kommt, erzähl ich dir, wenn ichs soweit fertig habe, damit du korrektur lesen kannst.

aber zu deinem grenzwertverhalten. das was ich da gepostet habe in meinem vorletzen post, das ist nicht richtig, es mus gegen plus unendlich jeweils streben.

27.06.2005, 10:24

Frooke

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Das war ja für t=0 oder?

Schau mal:

Es geht schon gegen -unendlich!

27.06.2005, 11:01

brunsi

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edit: stimmt, aber wie kann ich das rechnerisch überprüfen? kleinere werte für x als 5 einsetzen liefert ja was anderes!!

für x=1:

plottet der irgendwie nicht.

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27.06.2005, 11:47

sqrt(2)

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Du sollst ja den Grenzwert gegen 5 und nicht gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ oder sonstwas bilden.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 5} \log (x-5)^2=\lim_{u\rightarrow 0}\log u=-\infty \end{eqnarray*}$

27.06.2005, 12:08

brunsi

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ja schon, aber irgendwie muss man das doch auch sehen können?

wenn für x<5 wähle und x---->5 für ln(x) streben soll, wie bekomme ich das rechnerisch raus.

kann mir mal jemand aufschreiben, wie ich auf das -unendlich komme?

27.06.2005, 12:20

sqrt(2)

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Hab ich doch schon. Ich definiere $\begin{eqnarray*} u := (x-5)^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 5 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ (einfach einsetzen). Daher, wie ich schon geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 5} \log (x-5)^2 = \lim_{u\rightarrow 0} \log u \end{eqnarray*}$

Über die Logarithmusfunktion musst du dann eben wissen, dass sie gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht, wenn das Argument gegen 0 strebt.

27.06.2005, 12:28

brunsi

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also das $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist dabei fest?? oder könnte die funktion dann auch theoretisch gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen?

27.06.2005, 12:32

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0} \log x = -\infty \end{eqnarray*}$ . Punkt.

(Sicher kann man das mit Methoden der Analysis nachweisen, wie man sie sicherlich im Studium kennenlernt, aber wozu? Es ist aus der Definition der Logarithmusfunktion intuitiv ersichtlich.)

27.06.2005, 12:36

brunsi

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Ok, das wollte ich ja nur wissen, ob es dafür auch nen nachweis gibt. denn mir war das nicht so ganz klar. das liegt schon ein wneig zu lange her, das wir logarithmusfunktionen behandelt haben.

aber vielen dank!! Tanzen

Tanzen

Tanzen

Freude

Willkommen

Willkommen

27.06.2005, 12:40

Frooke

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Das hatte ich ja bereits geplottet:

Zitat:

Original von Frooke

Ausserdem habe ich es rechnerisch für x->5+t und 5-t auch schon schrittweise gemacht...

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 5+t} f_t(x)=\lim_{x \nearrow 5+t} \ln\bigg((x-5)^2-t^2\bigg)=\lim_{x \nearrow 5+t} \ln\bigg((x-5-t)(x-5+t)\bigg)="\ln(0^+)"=-\infty \end{eqnarray*}$

Denke einfach draran, dass das Logarithmusargument, also
$\begin{eqnarray*} (x-5)^2-t^2 \end{eqnarray*}$ einen nach OBEN geöffnete Parabel ist! Zur «linkeren»Nullstelle kommst du also (von links kommend) von oben! Und aus Symmetriegründen zur «rechteren» Stelle von rechts auch!
Deswegen ist dort das Logarithmusargument 0+.

@brunsi:
Zu dem was sqrt(2) gesagt hat. Denke mal daran, was der Logarithmus überhaupt bedeutet! Wenn Du ihn als Umkehrfunktion von exp(x) deutest, siehst Du sofort, dass exp(x) null selbst für sehr negative Werte nicht erreicht! Folgerichtig «stürzt»die ln-Funktion für Werte nahe null eben ins Unendliche (negativ)!

27.06.2005, 12:49

brunsi

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noch eine frage:

$\begin{eqnarray*} x\rightarrow 5 gilt u\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ ist das für u so definiert?

edit: oder kann man es irgendwie umrechnen? tschuldigung, dass ich das jetzt so blöd fragen musste, aber es ist mir einfach nicht so klar, ob das jetzt fest stand oder nicht!

27.06.2005, 13:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich definiere $\begin{eqnarray*} u := (x-5)^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 5 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ (einfach einsetzen).

27.06.2005, 13:12

Frooke

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@sqrt(2)

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

...

@brunsi: Du kannst ja auch jeweils andere Limitenumstellungen machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ usw...

27.06.2005, 15:19

brunsi

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okeeeyy

Augenzwinkern

gebt die hoffnung mit mir nicht auf. ich hab mich jetzt noch mal drangesetzt und es nachvolzogen.

danke schön.

P.S.: Senkrechte Assymptote wäre für t=0 ja die x=5-Achse.

und für die anderen beiden fälle die 5+t- und 5-t-Achsen?!!!

28.06.2005, 07:05

Frooke

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Ja! Genau!

28.06.2005, 07:43

brunsi

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aber das kann man ja einfach erschließen.

so momentan ist dieser thread beendet.

denn wenn man nun die Nullstellen, Extrema udn Wendepunkte bestimmen will, muss man wieder alle drei möglichen Fälle für t berücksichtigen. Freude

Freude

Willkommen

28.06.2005, 08:15

Frooke

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Genau!

Freude

Und Du kannst ja später - falls Du die Funktionsuntersuchung zu Ende führen willst - hier wieder was reinposten oder machst halt allenfalls einen neuen Thread auf...

Und falls Du noch einen Untersuchungspunkt willst, so prüfe doch noch auf Symmetrie zur x=5-Achse... smile

smile

Das könnte spannend sein smile

smile

28.06.2005, 08:36

brunsi

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das glaub ich dir aufs wort mit der symmetrie. haber kann man die nicht schon aus der zeichnung, die du da oben gemacht hast ersehen?

könnte ja auch auf symmetrie zur x=5+t bzw. 5-t achse prüfen ??

28.06.2005, 09:27

Frooke

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Ja, man kann sie erahnen, aber man muss sie natürlich rechnerisch prüfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

Und zur Symmetrie zu 5+t bzw. 5-t. Das wird nicht klappen, weil sich da rechts respektive links davon ein Intervall befindet, auf dem die Funktion nicht definiert ist... Auch da ist höchstens eine Symmetrie zur x=5-Achse... (Sowieso muss eine Symmetrieachse nicht im Definitionsbereich einer Funktion liegen...)

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