Äquivalenzrelation |
| 25.06.2005, 11:00 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Äquivalenzrelation ich hab hier eine Aufgabe bei der ich ein Problem mit der Aufgabenstellung habe. Ich will zeigen dass folgendes eine Äquivalenzrelation ist: Für jede natürliche Zahl n ist die Relation ~_n auf der Menge Z der ganzen Zahlen, die wie folgt definiert ist: x ~_n y <=> y - x ist ein ganzzahliges Vielfaches von n eine Äquivalenzrelation. Seh ich das richtig, dass hier mit "für jede natürliche Zahl n" gemeint ist, dass x,y Elemente der natürlichen Zahlen sein müssen? Wenn ja, wie kann dann aber die Relation auf der Menge der ganzen Zahlen definiert sein??? Wenn ich dann zB reflexivität prüfen will, dann muss doch das für alle Elemente von Z gelten, aber wenn ich für x,y nur natürliche Zahlen einsetzen darf, wie soll das dann gehn??? 
Grüsse... |
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| 25.06.2005, 11:42 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ich bins nochmal, ich glaub ich habs. Kann es sein, dass x und y aus Z sind? Das ist doch so gemeint hier, oder? Grüsse... |
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| 25.06.2005, 11:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die relation ist auf ZxZ, also sind deine elemente aus Z du musst genau lesen lernen: das n auas IN bestimmt nur deine relationsbedingung so ist z.b. für n=7 deine relation ~_7 so definiert: für x und y aus Z gilt x~y, wenn x-y ein vielfaches von 7 ist |
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| 25.06.2005, 14:08 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, ich versuchs mal zu zeigen: reflexiv, falls gilt: x~x für alle x€X für x=y gilt: x-y=0 Die 0 muss ja ein ganzzahliges Vielfaches von n ergeben. z.B.: 0=1*0, wobei hier die 0€(von 1*0) n ist symmetrisch, falls gilt: (x~y <=> y~x) für alle x,y,z€X (a-b)/n => (c-d)/n e/n => -e/n transitiv, falls gilt: (x~y, y~z => x~z) für alle x,y,z€X x-y €Z, y-x €Z => x-z €Z Jedes Element aus Z ist ja ein ganzzahliges Vielfaches von n, ich kann ja als ganzzahliges Vielfaches einfach die 1 nehmen. |
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| 25.06.2005, 14:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich verstehe deinen beweis zur tarnsitivität schon mal gar nicht! da musst du noch mal ran! auch der rest ist mir noch etwas unveständlich:
was sillst du damit aussagen? 0 ist einfach 0*n für alle n, also ein vielfaches von n für alle n das musst du ja zeigen |
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| 25.06.2005, 14:55 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, ich fang nochmal mit der reflexiv ausführlicher an. ich will sagen, dass die 0 von 1*0 aus der Menge der natürlichen Zahlen ist. D.h. das vielfache von 0 ergibt 0. In diesem Fall das "1"-fache. 1*0 = 0. Somit hab ich doch reflexivität gezeigt, richtig? |
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| 25.06.2005, 15:09 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist völliges gesabbel es tut mir leid; das 0 aus den natürlichen zahlen ist? WIESO willst du denn das zeigen? x-x ist für alle x 0, soweit einig du musst jetzt zeigen, dass das für alle n ein ganzzahliges vielfaches von n ist. und 0=n*0 für alle n, mit 0 ganzzahlig. also hast du reflexivität (insbesondere für alle n!) |
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| 26.06.2005, 10:53 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, klar. mein problem war, dass ich nicht gesehn hab, dass ich es für alle n zeigen muss. das ist mir jetzt klar! ok, zur symmetrie nochmal: ich versuchs nochmal ohne "viel" zu sabbeln: Für x=y ist die Implikation wahr. (reflexiv). Sonst gibt es noch 2 Fälle: + => - - => + Ganzzahliges vielfaches von n bedeutet ja das gleiche, dass es durch n teilbar sein muss. Wenn man x-y und y-x rechnet, bekommt man immer die selbe Zahl (muss/kann man das beweisen?), nur dass das Vorzeichen verschieden ist. Also ist y-x durch n teilbar, wenn x-y durch n teilbar ist. Die andere Richtung folgt analog. Ich hoffe es ist jetzt verständlicher, ich tu mich noch bischen schwer... |
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| 26.06.2005, 11:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ way Das, was in dieser Aufgabe heißt, wird üblicherweise oder geschrieben. Mehr Informationen dazu gibt es hier. |
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| 26.06.2005, 11:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das verstehe ich nicht, aber:
das ist richtig, ich drücks dir mal noch mathematisch aus: dabei ist r ganze zahl nach bedingung von ~, den n-index hab ich fortgelassen edit: tex erkennt ~ nicht einfach, schade achja: @way: versuch mal den zusammenhang zwischen dieser realtion und leos link herzustellen; den gleichen rest lassen bei teilen durch n und als difefrenz ein n-vielfaches haben ist das gleiche, weißt du wieso? wenn nicht: nachdenken edit2: noch korrigiert -r in klammern gesetzt |
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| 27.06.2005, 11:51 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi, ich probier mal die transitivität: wenn x-z gleich 0 ist, haben wir wieder 0=0*n mit 0 ganzzahlig. wenn für x-z was negatives rauskommt, haben wir x-z=-1*n und wenn für x-z was positives rauskommt, haben wir x-z=1*n. das heisst, die aussage: (x~y, y~x => x~z) für alle x,y,z€X ist immer wahr, sogar unabhängig davon ob x~y, y~x. ist das so ok? achja: 
"den gleichen rest lassen beim teilen durch n und als differenz ein n-vielfaches haben, ist das gleiche" ich hab mir das mal an einem beispiel klar gemacht. wenn ich zb die restklasse von 4 nehme, lassen alle repräsentanten bei teilen durch 3 den rest 1. und wenn ich 2 beliebige repräsentanten voneinander subtrahier, dann kommt tatsächlich immer 3 raus. das muss ja so sein, weil die alle den "abstand" 3 haben. aber wie kann ich das mathematisch, vor allem "sauber" ausdrücken? grüsse... |
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| 27.06.2005, 13:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wieso gerade -1*? das kann doch auch 7 mal, oder 19 mal sein; das muss einfach ein GANZZAHLIGES vielfaches sein also folgt aus: a~b, dass a-b=r*n mit r ganze zahl aus b~c <=> b-c=s*n, s ganze zahl DAMIT musst du zeigen, dass a~c, also dass.... |
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| 27.06.2005, 14:13 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"wieso gerade -1*?" weil ich sonst nicht auf was negatives komme. verstehst du was ich damit meine? ist meine methode so korrekt? aber deine methode hört sich mal wieder besser an. a-b = r*n und b-c = s*n also a-b+b-c = r*n + s*n => a-c = (r+s) * n mit (r+s) ganzzahliges vielfaches von n |
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| 27.06.2005, 15:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
letzteres ist gut, a-c einfach als a-b+b-c zu schreiben, dass ist der trick!
nein, das war falsch! du konntest eben nicht oBdA 1 bzw. -1* annehmen |
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