Varianz berechnen - stochastischer Prozess

27.06.2005, 14:46

swclhard

Varianz berechnen - stochastischer Prozess

$\begin{eqnarray*} X_t=0,3+0,5X_{t-1}+a_t \end{eqnarray*}$ a_t~N.V.(0,2)

Weiß jemand wie man die Varianz berechnet?
Oder kann mir einer sagen, ob das so richtig ist?

var(Xt)=var(0,3)+0,5²var(Xt-1)+var(at)
s=sigma
s²=0 + 1/4s²+2
3/4s²=2
s²=8/3

Varianz=8/3?

27.06.2005, 15:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja grauenhaft, wie du die Indizes schreibst. Du musst doch in

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18800

gelesen haben, wie das mit LaTeX geht (dafür ein paar freundschaftliche Forum Kloppe

) :

$\begin{eqnarray*} X_t = 0.3+X_{t-1}+a_t \end{eqnarray*}$

Unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} X_0,a_1,a_2,\ldots \end{eqnarray*}$ voneinander unabhängig sind, kannst du die erste Aufgabe so rechnen, wie du es getan hast. (Die zweite schau ich mir erst an, wenn sie einigermaßen vernünftig geschrieben worden ist.)

27.06.2005, 15:59

swclhard

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antworten! ;-)
Hoffe das es jetz besser ausschaut. Hab latex noch nie benutzt.

$\begin{eqnarray*} X_t=1,5+a_t-0,6a_{t-1}+0,2a_{t-2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} at~N.V.(0;0,25) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} var(X_t)=var(1,5)+var(a_t)-0,6²var(a_{t-1})+0,2²var(a_{t-2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0 + 0,25 - 0,36 * 0,25 + 0,04 * 0,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s² = 0,17 \end{eqnarray*}$

Varianz=0,17

Noch eine Frage: Wann beziehe ich die Cov zur Berechnung der Varianz mit ein? Das hab ich bis jetzt noch nicht verstanden. Siehe den Fehler bei meiner letzten Frage. http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18800

27.06.2005, 16:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vorzeichenfehler, hinter dem noch gewisse Verständnisprobleme lauern? Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X_t)=\mathrm{var}(a_t)+(-0.6)^2\mathrm{var}(a_{t-1})+0.2^2\mathrm{var}(a_{t-2}) \end{eqnarray*}$

Immer dann, wenn die Unkorreliertheit der Summanden nicht gesichert ist, muss auch die Kovarianz einbezogen werden. In den vorstehenden Beispielen war jeweils sogar Unabhängigkeit gegeben, und die ist ja hinreichend für Unkorreliertheit. Aber diese Unabhängigkeit gilt nur, wenn die von mir angegebene Bedingung

Zitat:

Original von Arthur Dent
Unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} X_0,a_1,a_2,\ldots \end{eqnarray*}$ voneinander unabhängig sind

für dein Beispiel auch wirklich erfüllt ist!!!

27.06.2005, 16:25

swclhard

Auf diesen Beitrag antworten »

Also in diesen Aufgaben sind keine weiteren Informationen. Woran sehe ich denn, wann die Unkorreliertheit der Summanden nicht gesichert ist.

Also bei dieser Aufgabe wird die Cov miteinbezogen:

$\begin{eqnarray*} X_t=0,5X_{t-1}+0,1X_{t-2}+a_t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_t~N.V.(1,1) \end{eqnarray*}$

Aber warum ist das hier nun so im Gegensatz zu den Aufgaben davor?

27.06.2005, 16:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du nicht Unkorrelierteit aus den Voraussetzungen oder anderen Überlegungen ableiten kannst, darfst du sie auch nicht benutzen!!!

Bei deiner ersten Aufgabe kann man aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X_0,a_1,a_2,\ldots \end{eqnarray*}$ sowie der Rekursionsvorschrift folgern, dass $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ von den Einzelgrößen $\begin{eqnarray*} a_{k+1},a_{k+2},\ldots \end{eqnarray*}$ unabhängig ist, aber nicht von $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_k \end{eqnarray*}$ und auch nicht von $\begin{eqnarray*} X_0,X_1,\ldots,X_{k-1} \end{eqnarray*}$ , letzteres aufgrund der Rekursion!!!

Und genauso verhält es sich auch bei

$\begin{eqnarray*} X_t=0.5X_{t-1}+0,1X_{t-2}+a_t \end{eqnarray*}$

Von der vorherigen Stufe (also t-1) ist nämlich

$\begin{eqnarray*} X_{t-1}=0.5X_{t-2}+0.1X_{t-3}+a_{t-1} \end{eqnarray*}$

bekannt, also sind $\begin{eqnarray*} X_{t-1},X_{t-2} \end{eqnarray*}$ abhängig!!!

27.06.2005, 16:48

swclhard

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!! Das bringt Licht ins Dunkle

Neue Frage »

Antworten »

Varianz berechnen - stochastischer Prozess

Verwandte Themen