Frage zu Integralschreibweise

27.06.2005, 16:12

mercany

Frage zu Integralschreibweise

Hallo,

in dem Text den ich gerade über Integrieren lese, ist zeitweise von einer anderen Schreibweisen die Rede. Mich würde gerne interessieren, ob zwischen den unten genannten ein Unterschied besteht.

$\begin{eqnarray*} \int ~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int ~dx~f(x) \end{eqnarray*}$

Aus dem Zusammenhang würde ich das jetzt nur so interpretieren, dass man bei $\begin{eqnarray*} \int ~dx~f(x) \end{eqnarray*}$ speziell nach der Variable "x" integrieren soll.

Aber da bin ich mir auch nicht so sicher! unglücklich

Könnte das vielleicht mal wer aufklären.... Danke schön!

MfG
mercany

27.06.2005, 17:15

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Normalerweise ist Konvention, dass das $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ den rechten Abschluss des Integrals bildet. Nach dieser Konvention gehört f(x) nicht mehr zum Integral $\begin{eqnarray*} \int~\mathrm{d}x~f(x) \end{eqnarray*}$ , sondern ist ein äußerer Faktor. Falls das Integral zudem ein bestimmtes Integral sein soll, dann ist in diesem Fall die Variablenverwendung verwerflich: Einmal das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Integrationsvariable, aber dann auch noch als andere Variable mit irgendeiner Bedeutung - das sollte man tunlichst unterlassen.

Aber vielleicht hast du das ja aus einem Buch, in dem eine andere Konvention gepflegt wird. Augenzwinkern

27.06.2005, 17:34

Leopold

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In der Mathematik ist es durchgehend Konvention, das Integral mit dem Differential $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ usw. abzuschließen. Aber es ist eben nur eine Konvention, eigentlich spräche nichts dagegen, es anders zu machen, denn zwischen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ besteht eine formale Multiplikation. (In den Anfängen der Integralrechnung glaubte man sogar, daß das eine echte Multiplikation zwischen einer endlichen Größe $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und einer unendlich-kleinen positiven Größe $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ ist. Die Nicht-Standard-Analysis hat diesen Zugang wieder aufgegriffen und in logisch einwandfreie Form gebracht.)

Warum schreibt man eigentlich $\begin{eqnarray*} 5 \cdot (-2) \end{eqnarray*}$ und nicht einfach $\begin{eqnarray*} 5 \cdot -2 \end{eqnarray*}$ ? Auch das ist eine Konvention. Die zweite Schreibweise gilt einfach als falsch, obwohl eigentlich nichts gegen sie spricht - außer vielleicht der größeren Lesefehlerhäufigkeit bei schlechtem Schriftbild.

Ich meine aber, schon gehört zu haben, daß die Physiker das Differential oft an den Anfang stellen, also

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\mathrm{d}x~f(x) \end{eqnarray*}$

schreiben. Wenn die das mit ihrem mathematischen Gewissen vereinbaren können und es für ihre Zwecke praktikabler ist, dann lassen wir sie.

27.06.2005, 17:45

mercany

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Danke euch beiden für die interessanten Aufklärungen!

@AD
Ich glaube nichtmal umbedingt, dass der Funktionsvarialbe, in meinem Falle x, mehrer Bedeutungen zugeschrieben.
Auf jeden Fall geht das so aus den Beispielen nicht hervor!

Sollte dies jedoch der Fall sein, dann sollte ich vielleicht wirklich daran zweifeln, ob diese Anleitung umbedingt sehr wahrheitsgetreu ist. Augenzwinkern

Ich meine, das gilt ja für jeden Fall: Wenn ich eine Funktionsvarialbe mit mehreren Bedeutungen habe, dann ist das generell "immer" sehr verwerflich!

Gruss
mercany

27.06.2005, 18:24

iammrvip

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Hallo

Werde ich auch kurz noch meinen Senf dazu geben. Wie schon gesagt machen das die Physiker sehr gerne. Wie auch schon gesagt, stellt das Integral ja nichts anderes als das Produkt aus der Breite und Höhe eines Rechtecks unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mit unendlich kleiner Breite.

Nehmen wir die Summendarstellung und machen die Breite unendlich klein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x_i \to 0}\sum_{i = 1}^n f(x_i)\cdot \Delta x_i = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Also haben wir ja nur ein Produkt aus Breite und Höhe (bildlich gesprochen). Deshalb kann man sie auch getrost "drehen".

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\mathrm dx \equiv \int \mathrm dx f(x) \end{eqnarray*}$

Ein Beispiel hab ich noch aus einer Physikvorlesung:

Haben wir

$\begin{eqnarray*} M := \left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 : 0 \leq z \leq c, 0 \leq \sqrt{x^2 + y^2} \leq R\right\} \end{eqnarray*}$

Das ergibt ja einen Zylinder. Integrieren wir über das Volumen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_M\mathrm dV &=& \int\limits_0^c\int\limits_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}}\int\limits_{-R}^R\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz \\ &=& \int\limits_{-R}^R\mathrm dx\int\limits_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}}\mathrm dy\int\limits_0^c\mathrm dz \\ &=& c\int\limits_{-R}^R\mathrm dx ~ 2\sqrt{R^2 - x^2} \\ &=& 2cR^2 \left[ \frac{1}{2}x\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right]_{-1}^1 = 2cR^2 \left( \frac{1}{2}\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\frac{\pi}{2} \right) = c\pi R^2 \end{eqnarray*}$

(Wie man sieht genau das Volumen das Zylinders Augenzwinkern

27.06.2005, 18:54

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Solange sie die Übersicht behalten, sollen sie doch ihre Integrale schreiben, wie sie wollen. Vielleicht dient es ja auch nur der Verwirrung des Lesers... Kürzer ist es jedenfalls nicht.

27.06.2005, 21:13

iammrvip

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Solange sie die Übersicht behalten, sollen sie doch ihre Integrale schreiben, wie sie wollen. Vielleicht dient es ja auch nur der Verwirrung des Lesers... Kürzer ist es jedenfalls nicht.

Wie es einem gefällt eben Augenzwinkern

. Wahrscheinlich Gewohnheitssache.

28.06.2005, 01:07

JochenX

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Zitat:

Original von iammrvip
Nehmen wir die Summendarstellung und machen die Breite unendlich klein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x_i \to 0}\sum_{i = 1}^n f(x_i)\cdot \Delta x_i = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

also damit übst du glaube ich auch schon recht gut, unübersichtliche bücher zu schreiben, iammrvip.
1) wo kommt denn ganz plötzlich a und b her?
2) was sind diese x_i? insbesondere: sind das x-werte (f(x_i)) oder intervalle mit gewissen breiten (delta x_i)?
3) was ist n? sollte dein limes nicht eher n gegen unendlich laufen lassen?

28.06.2005, 16:38

Frooke

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Ich will auch noch meinen Senf dazugeben:
$\begin{eqnarray*} \int x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$
Man könnte doch nun allzuleicht folgende Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{d}x \cdot x \end{eqnarray*}$
so interpretieren:
$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{d}x \cdot x = \left(\int 1\cdot \mathrm{d}x\right) \cdot x = x^2 \end{eqnarray*}$
Ich geb also Arthur recht... (@Leopold: Klar kann man es rein theoretisch auch anders machen, aber ich finde gewisse Konventionen auch ok, damit man Missverständnisse vermeiden kann...)

28.06.2005, 17:00

iammrvip

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@LOED
Sry...ich schreibe ja auch keine Buch, dann würde ich es auch nicht so schreiben Augenzwinkern

Zitat:

Original von Frooke
Ich will auch noch meinen Senf dazugeben:
$\begin{eqnarray*} \int x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$
Man könnte doch nun allzuleicht folgende Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{d}x \cdot x \end{eqnarray*}$
so interpretieren:
$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{d}x \cdot x = \left(\int 1\cdot \mathrm{d}x\right) \cdot x = x^2 \end{eqnarray*}$

Könnte man, aber das wurde ja vorher eingeführt und geht auch aus der Rechnung hervor Augenzwinkern

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