DGL n-ter Ordung mit Hilfe des Eigenwertproblems berechnen

27.06.2005, 18:40

pippo

DGL n-ter Ordung mit Hilfe des Eigenwertproblems berechnen

Im Internet konnte ich leider zu diesem Thema bisher nichts finden. Kennt jemand zufällig ne Seite, auf der dies erklärt wird? Konnte nichtmal im Papula was dazu finden.

Denke es wird zu kompex sein, um es kurz zu erläutern, oder?

27.06.2005, 19:50

Lanford

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Ist nicht sonderlich kompliziert, gibt aber ohne ensprechende Software möglicherweise etwas viel zu rechnen. Augenzwinkern

Ganz am Anfang sollte man gleich mal die Eigenwerte und -Vektoren berechnen.

Dann gehts wie folgt weiter:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt} \vec x = A \vec x + \vec b \end{eqnarray*}$ (so ähnlich wird das aussehen, möglicherweise ist $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ auch gleich null)

$\begin{eqnarray*} \vec y := T^{-1}\vec x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x = T \vec y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt} T\vec y = T \dfrac{d}{dt} \vec y = A T\vec y + \vec b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt} \vec y = T^{-1}AT * \vec y + T^{-1}\vec b \end{eqnarray*}$

Sei nun T die Eigenbasis von A (Eigenvektoren von A als Spaltenvektoren in eine Matrix geschrieben), dann ist $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A in der Diagonale. Damit ist das System für die y entkoppelt und sehr einfach komponentenweise zu lösen (ich geh mal davon aus, dass du weisst, wie man lineare DGLs löst). Dann setzt man die Anfangswerte ein:

$\begin{eqnarray*} \vec x(0) = T\vec y(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\vec x(0) = \vec y(0) \end{eqnarray*}$

--> wieder komponentenweise einsetzen. Zum Schluss berechnet man aus den $\begin{eqnarray*} \vec y \end{eqnarray*}$ wieder die $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec x=T*\vec y \end{eqnarray*}$ smile

27.06.2005, 20:51

pippo

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Danke für die Hilfe, aber ich befürchte da fehlt es grundlegend. Alles was ich kann, ist aus einer Matrix die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren auszurechnen.
Wie man aber die DGL in eine Matrix überträgt und mithilfe der Eigenwerte dann die allgemeine Lösung bekommt, weiß ich nicht.

27.06.2005, 22:18

Lanford

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Zitat:

Original von pippo
Danke für die Hilfe, aber ich befürchte da fehlt es grundlegend. Alles was ich kann, ist aus einer Matrix die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren auszurechnen.
Wie man aber die DGL in eine Matrix überträgt und mithilfe der Eigenwerte dann die allgemeine Lösung bekommt, weiß ich nicht.

Wie sieht dein Gleichungssystem denn aus? Das als Matrix zu schreiben ist reine Formsache, falls es sich denn um lineare Gleichungen handelt. Ansonsten gehts überhaupt nicht mit dieser Methode.

Du hast eine Menge Funktionen $\begin{eqnarray*} x_1(t) \end{eqnarray*}$ bin $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ . Diese fasst man im Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ zusammen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ ... \\\\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt} \vec x = A \vec x + \vec b \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dfrac{dx_1}{dt} \\\\\dfrac{dx_2}{dt} \\\\ ... \\\\\dfrac{dx_n}{dt} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ ... \\\\x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\\\ b_2 \\\\ ... \\\\b_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun füllst du deine Koeffizienten in die Matrix A, so dass dein Differentialgleichungssystem rauskommt - ganz einfache Matrixmultiplikation, wie bei herkömmlichen linearen Gleichungssystemen. Die $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sind einfach allfällige Konstanten, welche auch null sein können. Augenzwinkern

27.06.2005, 22:50

pippo

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Also die Gleichungen sehen so aus:

y´1(t) = 2y1(t) + 3y2(t)
y´2(t) = 2y1(t) +y2(t)

Die Zahlen zwischen y und (t) sollen ein Index sein

28.06.2005, 11:43

Lanford

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Zitat:

Original von pippo
Also die Gleichungen sehen so aus:

y´1(t) = 2y1(t) + 3y2(t)
y´2(t) = 2y1(t) +y2(t)

Die Zahlen zwischen y und (t) sollen ein Index sein

okay, dann ist das ganz einfach:

Das System sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \vec b = \vec 0 , \vec x = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn dus in die oben gepostete Form einsetzt, kommt genau dein Gleichungssystem raus. Ist damit alles klar?

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