Invertierbare Matrix

27.06.2005, 20:50

free

Invertierbare Matrix

Hi ich hänge gerade bei folgender Aufgabe und komme absolut nicht weiter?!

Beweisen Sie, dass es zu jeder invertierbaren Matrix A ein Polynom $\begin{eqnarray*} p \in K[x ] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A^{-1}=p(A) \end{eqnarray*}$ .

Also ich denke das ich dafür den Satz von Cayley Hamilton benutzen sollte, der sagt, das $\begin{eqnarray*} \chi_A(A) = 0 \end{eqnarray*}$ aber wie ich das nun umsetzten sollte weiß ich nicht.

27.06.2005, 21:54

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
Hallo free,

wenn $\begin{eqnarray*} \chi_A(t) = a_nt^n+...+a_1t+a_0 \end{eqnarray*}$ , dann brauchst du noch eine gewisse Darstellung für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ . Kennst du eine?

Gruß vom Ben

27.06.2005, 22:00

free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
naja ich denke mal es wäre ganz gut wenn $\begin{eqnarray*} a_0= - 1 \end{eqnarray*}$ so könnte man $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite bringen und hätte dann da die einheitsmatrix zu stehen.. aber ich denke mir mal so einfach ist das nicht weil dann könnte ich ja mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren und hätte die mein polynom...mit A oder?

27.06.2005, 22:07

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
Du hast Recht, so einfach ist das nicht Augenzwinkern

Es gibt eine Darstellung von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ , die für jedes charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ gilt. Tipp: Es ist $\begin{eqnarray*} a_0=\chi_A(0) \end{eqnarray*}$ . Beachte jetzt noch die Definition des charakteristischen Polynoms.

Hilft das?

27.06.2005, 22:16

free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
naja dann ist $\begin{eqnarray*} a_0 = det(A) \end{eqnarray*}$ aber hilft mir das unbedingt weiter? also hätte ich denn $\begin{eqnarray*} \chi_A(A)= \sum_{k=1}^n~a_kA^k + \chi_A(0)=0 \end{eqnarray*}$ ... aber ehrlich gesagt sehe ich immer noch wie ich das machen sollte... ich weiß aber wenn A invertierbar ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \chi_A(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

27.06.2005, 22:20

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix

Zitat:

Original von free
naja dann ist $\begin{eqnarray*} a_0 = det(A) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Definition von $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Moment, hab gerade in der Wikipedia gesehen, dass man auch $\begin{eqnarray*} \chi_A(t)=det(A-t \cdot I) \end{eqnarray*}$ definieren kann. Ich war von $\begin{eqnarray*} \chi_A(t)=det(t \cdot I-A) \end{eqnarray*}$ ausgegangen. Dann hast du natürlich Recht.
Jetzt versuch doch mal in deiner Gleichung $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ einzubringen!

27.06.2005, 22:33

free

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm vielleicht einen kleinen Tipp?? Ich weiß absolut nicht, wie ich das einbringen. Ich habe mir jetzt gedacht, dass , weil ja $\begin{eqnarray*} a_0 = det(A) \end{eqnarray*}$ man und die Deterninate von $\begin{eqnarray*} A^{-1}= 1/det (A) \end{eqnarray*}$ oder irre ich mich da jetzt?

27.06.2005, 22:41

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
Du hast $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_kA^k + det(A) \cdot I = 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt steckt in jedem Summanden der Summe ein A drin. Dann noch ein bisschen rechnen...

27.06.2005, 22:50

free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
Hmm habe ich dann $\begin{eqnarray*} A^{-1} = -\frac{\sum_{k=2}^n~a_kA^k}{det(A)} \end{eqnarray*}$ ? Oder bin ich völlig auf den falschen Pfad also ich habe das det(A)*I auf die rechte Seite gebracht und habe dann mal $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ gerechnet aber ich bin mir absolut unsicher

27.06.2005, 23:22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
So wie du den Rechenweg beschrieben hast, ist er richtig. Die Summe hats du aber in dieser Hinsicht falsch umgeformt!

28.06.2005, 10:01

free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Invertierbare Matrix
Ja klar seh ich jetzt auch also dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = - \frac{\sum_{k=1}^n~a_kA^{k-1}}{det(A)} \end{eqnarray*}$

??

28.06.2005, 11:14

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du jetzt dein Polynom. Freude

28.06.2005, 11:33

free

Auf diesen Beitrag antworten »

Super ich danke euch beiden... Augenzwinkern

28.06.2005, 11:51

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr drei, die Aufgabe passte bei mir grade gut zum Thema; hab sie deswegen mitgelesen. Ist vielleicht doof eine Wertung zu machen, aber ich fand diesen Thread einfach schön: vorbildliche Helfer und ein vorbildlicher Fragesteller.
Die Aufgabe werde ich in ein paar Wochen wiederholen.

Neue Frage »

Antworten »

Invertierbare Matrix

Verwandte Themen