Wahrscheinlichkeitsraum

25.06.2005, 15:51	w17rb	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsraum hi! kann mir irgendjemand erklären, was ich mir genau unter dem wahrscheinlichkeitsraum vorstellen soll? brauche keine mathematische definition :-) die steht auch in meinem skript, kann damit bloß irgendwie nicht wirklich was anfangen. liebe grüße ANNA
27.06.2005, 01:03	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsraum Hallo w17rb, Du wollst also $\begin{eqnarray} (\Omega, A, P) \end{eqnarray}$ erklärt haben, ja? $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ enthält die sog. Elementarereignisse, vielleicht googlest du mal danach. In gleichem Kontext findest du vermutlich etwas zu den möglichen Ereignissen, die durch die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra A modelliert werden. Und das Wahrscheinlichkeitsmaß P ordnet den Elementen der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra A schliesslich eine Wahrscheinlichkeit zu. Also: Google mal nach den obigen Begriffen, dann wirst du vermutlich auch einfache Beispiele dazu finden. Versuche dann zu diesen Beispielen einen W-Raum aufzustellen und überleg dir, wie man dein Beispiel ändern könnte, wenn man A oder P ändert! Noch Fragen? Gruß vom Ben
27.06.2005, 07:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir das Werfen eines fairen Würfels. Die möglichen Ausgänge sind $\begin{eqnarray} 1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray}$ . Die fassen wir zusammen zum Ergebnisraum $\begin{eqnarray} \Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \} \end{eqnarray}$ zusammen. Die einelementigen Mengen $\begin{eqnarray} \{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\} \end{eqnarray}$ sind jetzt die Elementarereignisse, und jedes von ihnen hat die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ (fairer Würfel): $\begin{eqnarray} P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ Eigentlich müßte man $\begin{eqnarray} P \left( \{1\} \right) \end{eqnarray}$ usw. schreiben. Aus Gründen der Schreibbequemlichkeit läßt man aber oft die inneren geschweiften Klammern weg. Und jetzt zu den Ereignissen. Die Elementarereignisse hatten wir schon oben. Und wenn man nun Ausgänge zusammenfaßt, so erhält man weitere Ereignisse: $\begin{eqnarray} A = \ <\text{gerade Zahl }> \ = \left\{ 2,4,6 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \ <\text{keine 5}> \ = \left\{ 1,2,3,4,6 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = \ <\text{Augenzahl kleiner 4}> \ = \left\{ 1,2,3 \right\} \end{eqnarray}$ Und alle möglichen Ereignisse faßt man jetzt zur Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ der Ereignisse zusammen: $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} = \left\{ \emptyset , \{1\},\{2\},\ldots,\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\{1,2,3\},\ldots,\{2,4,6\},\ldots, \Omega \right\} \end{eqnarray}$ Zu den Ereignissen zählt man auch das unmögliche Ereignis $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ (Wahrscheinlichkeit 0) und das sichere Ereignis $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (Wahrscheinlichkeit 1). In diesem Beispiel gibt es insgesamt $\begin{eqnarray} 2^6 \end{eqnarray}$ verschiedene Ereignisse. Jetzt haben wir erklärt, was $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und was $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ bedeuten. Jetzt fehlt noch $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Auf den Elementarereignissen haben wir $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ oben schon festgelegt. Und für ein beliebiges Ereignis addiert man einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten der in ihm vorkommenden Ausgänge auf: $\begin{eqnarray} P(E) = \sum_{\omega \in E}^{}~P(\omega) \end{eqnarray}$ Zum Beispiel beim obigen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(A) = P(2)+P(4)+P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} +\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ . Was ich hier aufgeschrieben habe, ist das Beispiel eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray}$ , sogar eines Laplace-Raumes (da alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind - das braucht allgemein nicht so zu sein!). Da ist also $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ einfach die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Bei überabzählbarem $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ wird die Sache um einiges komplizierter. Da ist es nicht mehr möglich, jeder Teilmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Das liegt letztlich an der mengentheoretisch-topologisch-logischen Komplexität der uns scheinbar so vertrauten Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . In der sogenannten Maßtheorie beschäftigt man sich damit, möglichst vielen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeit zuzuschreiben. Die Teilmengen, für die das geht, faßt man zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ zusammen.
27.06.2005, 10:09	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde Leopolds Beitrag sollte in einen Workshop, wie es ihn auch in anderen Themen gibt. Dann ist er leichter zu finden... Dat war ja mal ein richtig schön erklärtes Stück Wissen Jan
27.06.2005, 10:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht so aus, als könnte sich Leopold doch langsam mit der Maßtheorie anfreunden, sonst hätte er den letzten Abschnitt nicht angefügt. Spaß beiseite, ich stimme Jan zu. Ergänzend sei nur noch hinzugefügt, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}=\wp(\Omega) \end{eqnarray}$ (also Potenzmenge) und die dort dann gültige Wahrscheinlichkeitsberechnung auf der Grundlage von $\begin{eqnarray} P(E) = \sum_{\omega \in E}^{}~P(\omega) \end{eqnarray}$ nicht nur für alle endlichen, sondern auch abzählbaren Ergebnisräume $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ gültig ist.
27.06.2005, 21:32	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe eine Kopie des Threads mit den relevanten Posts als "Wichtig" markiert. Gruß vom Ben
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