Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht - Seite 2

29.06.2005, 16:06

mercany

Dank dir sqrt, das ist jetzt besser für mich nachvollziehbar gewesen.
Kennst du vielleicht einen Link, wo ich mich nochmal näher zu der Schreibweise informieren kann?

Hat jemande noch ein par Übungsaufgaben für mich?

Gruß, mercany

29.06.2005, 16:21

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
Kennst du vielleicht einen Link, wo ich mich nochmal näher zu der Schreibweise informieren kann?

Vielleicht das hier?

29.06.2005, 22:51

mercany

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Japp, ich habs mir angeguckt und an anderer Stelle auch noch was dazu gelesen.

Hat denn jemand noch 2-3 leicht Übungsaufgaben für mich - vielleicht wo ich das mit dem Substituieren schon gleich mal üben kann ?!

Gruß
mercany

29.06.2005, 22:56

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \sqrt{4x+5} ~dx \end{eqnarray*}$

29.06.2005, 23:01

DerEierMann

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x\cdot sin(ax^2+b)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{sin(x)}{cos(x)}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^3 \cdot cos(ax^4+b) ~dx \end{eqnarray*}$

viel spass ^^

03.07.2005, 13:13

mercany

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \sqrt{4x+5} ~dx \end{eqnarray*}$

Also bei dieser Aufgabe komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{8}{3}\cdot(4x+5)~dx \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass das wohl nicht passen kann. Wahrscheinlich hab ich bei der Substitution etwas falsch gemacht.

Gruß, mercany

03.07.2005, 13:21

Frooke

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Hey Jan... Zeig doch mal Deinen Lösungsweg... Da passt nämlich echt was nicht Augenzwinkern

03.07.2005, 13:34

mercany

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Okey, ich schreibs mal, so wie ich das verstanden hatte mit der Substitution!

Ich hab $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x+5}~dx \end{eqnarray*}$

Substituiere nun $\begin{eqnarray*} u = 4x+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \frac{du}{dx} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{4} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x+5}~dx = \int~\sqrt{u}~\frac{du}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \int~\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}~\frac{du}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \int~ \frac{8}{3}u^{\frac{3}{2}}~du \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \int~\frac{8}{3}(4x+5)^{\frac{3}{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Besten Dank, Jan

03.07.2005, 13:40

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x+5}~dx = \int~\sqrt{u}~\frac{du}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \int~\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}~\frac{du}{4} \end{eqnarray*}$

¿Qué pasó aquí?

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{u}~\frac{du}{4}=\int~u^\frac{1}{2}~\frac{1}{4}du=\int~\frac{1}{4}u^\frac{1}{2}~du \end{eqnarray*}$

03.07.2005, 13:46

mercany

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!Es muy interesante!

Sagst du mir auch noch warum... smile

Wo liegt mein Gedankenfehler verwirrt

Gruß, mercany

03.07.2005, 13:49

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

03.07.2005, 13:53

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
!Es muy interesante!

¿Cuál es lo que es tan interesante?

Zitat:

Original von mercany
Sagst du mir auch noch warum... smile

Wo liegt mein Gedankenfehler verwirrt

Also erst einmal ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und zum zweiten handelt es sich bei dem ganzen Ausdruck um eine einfache Multiplikation... Ich weiß nicht, wo du den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ plötzlich herhast und warum du in hinterher mit 4 multiplizierst, statt ihn durch 4 zu teilen.

Zitat:

Original von derkoch
dei ableitung der wurzel ist nicht richtig!

Welche Ableitung von einer Wurzel? Er hat den Ausdruck unter der Wurzel substituiert...

03.07.2005, 13:55

derkoch

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ich habs in die falsche seite rein geschrieben! smile

wollte zu ne anderen aufgabe was schreiben! traurig

03.07.2005, 13:56

sqrt(2)

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Ah...

03.07.2005, 14:03

mercany

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Okey,

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{4}u^{\frac{1}{2}}~du \end{eqnarray*}$ habe, dann muss ich doch aber noch die Stammfunktion vom $\begin{eqnarray*} u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ bilden, oder hab ich da etwas falsch verstanden?

03.07.2005, 14:06

derkoch

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jau!

bevor du das machst kannst du alle konstanten( in dem fall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ vor das intergral ziehen, ist manchmal übersichtlicher und leichter!

03.07.2005, 14:06

brunsi

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ja das ist richtig, du musst dan nncoh die stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ bilden.

03.07.2005, 14:18

mercany

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Dementsprechend:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x+5}~dx = \frac{1}{4} \int~\frac{2}{3}(4x+5)^{\frac{2}{3}}~dx \end{eqnarray*}$

oder?

Gruß, mercany

03.07.2005, 14:37

sqrt(2)

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Ich glaube, jetzt seh ich's... du hast Probleme mit der Schreibweise.

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x+5}~dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}(4x+5)^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Da ist kein Integral mehr. Das hast du ja gerade ausgerechnet.

03.07.2005, 14:42

mercany

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Huppsss..... alles klar, jetzt weiß ich bescheid!

Dann begebe ich mich mal an die anderen Aufgaben.

Gruß, mercany

03.07.2005, 15:34

mercany

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$\begin{eqnarray*} \int~x\cdot sin(ax^2+b)~dx = \frac{1}{2ax}\cdot \frac{1}{2}x^2 + C \cdot (-cos(ax^2+b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~x^3\cdot cos(ax^4+b)~dx = \frac{1}{4ax^3} \cdot \frac{1}{4}x^4 + C \cdot sin(ax^4+b) \end{eqnarray*}$

Passt das?

/edit: Muss ich die Konstante mit in die Stammfunktion reinbringen?

03.07.2005, 15:47

therisen

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$\begin{eqnarray*} \int f(x)~dx = F(x)+C \end{eqnarray*}$

Außerdem: Warum prüfst du nicht selbst, ob deine Stammfunktionen korrekt sind? Es muss ja F'(x)=f(x) gelten... Und differenzieren ist ja wohl kein Problem!

Gruß, therisen

03.07.2005, 15:48

sqrt(2)

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Beide Ergebnisse sind falsch. Poste mal deine Rechenwege.

Die Konstante in der Stammfunktion ist vielleicht, wenn man sehr formal ist, angebracht, aber hier kannst du sie einfach weglassen. Wobei ich mich wundere, wie du es geschafft hast, die Konstante so einzubauen...

03.07.2005, 16:03

mercany

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$\begin{eqnarray*} \int~x \cdot sin(ax^2 + b)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = ax^2 + b, u'(x) = 2ax = \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{2ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~x \cdot sin(u)~du = \frac{1}{2}x^2 \cdot -cos(u)~\frac{du}{2ax} = \frac{1}{2ax} \cdot \frac{1}{2}x^2 \cdot -cos(ax^2+b) \end{eqnarray*}$

03.07.2005, 16:13

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} \int~x \cdot sin(u)~du \end{eqnarray*}$

Du hast das dx falsch substituiert, $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{2ax} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} dx=du \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}x^2 \cdot -cos(u)~\frac{du}{2ax} \end{eqnarray*}$

Hier ist jetzt richtig substituiert, aber es fehlt das Integralzeichen. Dann hast du schon angefangen, das als Vorfaktor x zu integrieren, das geht nicht! Erstens ist das noch ein Integral (auch wenn das zeichen fehlt, aber die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ steht noch da!) und zweitens kannst du Produkte nicht einzeln integrieren.

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)g(x)~dx \neq \int~f(x)~dx \cdot \int~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2ax} \cdot \frac{1}{2}x^2 \cdot -cos(ax^2+b) \end{eqnarray*}$

Das schließlich wäre richtig, wenn du das x nicht vorher schon integriert, sondern es bei seinem Dasein belassen hättest.

03.07.2005, 16:18

mercany

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Okey, als sehe ich das richtig, dass ich hauptsächlich Fehler in der Schreibweise gemacht habe?

Die Fehler sind klar, nur habe ich jetzt nicht ganz verstanden, ob mein letzter Schritt von den Zahlen her richtig ist oder nicht?`

Oder meintest du, dass ich statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hätte belassen sollen verwirrt

Danke für die Berichtigung!
Gruß, mercany

03.07.2005, 16:18

therisen

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Hallo mercany,
was du machst ist ein Krampf. Wenn schon substituieren, dann musst du das auch konsequent durchziehen, also hier alle x in $\begin{eqnarray*} x\cdot \sin(ax^2+b) \end{eqnarray*}$ . Wenn du $\begin{eqnarray*} z=ax^2+b \end{eqnarray*}$ substituierst, musst du $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{z-b}{a}} \end{eqnarray*}$ schreiben. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} x &=& \sqrt{\frac{z-b}{a}} \\ dx & = & \frac{1}{2a\sqrt{\frac{z-b}{a}}}dz \end{eqnarray*}$

Damit hast du dann also:

$\begin{eqnarray*} \int x\cdot \sin(ax^2+b) ~dx =\int \sqrt{\frac{z-b}{a}} \sin(z) \frac{1}{2a\sqrt{\frac{z-b}{a}}}~dz \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

03.07.2005, 16:22

mercany

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Ja tut mir leid therisen, die Schreibweise sollte ich mir nochmal richtig angucken!

Ganz ehrlich: Meinst du mit Krampf, dass ich da einfach nur Mist gemacht habe oder meinst du, dass ich es mir zu kompliziert mache.

Wenn das so ist, sagt mir wie ich es mir einfacher machen kann, bitte.

Gruß
mercany

03.07.2005, 16:22

sqrt(2)

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Erstklassige Verwirrungstaktik, therisen. smile

Bleiben wir doch lieber bei der Schulmathematik. Da gehört zu einem Integralzeichen ein $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ (wenn x die Integrationsvariable ist). Alleine gibt es weder das eine noch das andere zu sehen.

Zitat:

Original von mercany
Oder meintest du, dass ich statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hätte belassen sollen ?

Ja. Dann kürzt es sich weg, das ist ja das Schöne an der Sache.

03.07.2005, 16:29

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, und was meinte therisen jetzt da oben?

Was mache ich mir da komplizierter als es ist.... verwirrt

Ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ denn falsch oder einfach nur unschlau gewählt?

Gruß, mercany

03.07.2005, 16:31

therisen

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Erstklassige Verwirrungstaktik, therisen. smile

Kannst du das vielleicht ein wenig genauer ausführen?

@mercany:

Zitat:

Ganz ehrlich: Meinst du mit Krampf, dass ich da einfach nur Mist gemacht habe

Naja, du hast die Substitution nicht korrekt durchgeführt.

Gruß, therisen

03.07.2005, 16:38

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
Okey, und was meinte therisen jetzt da oben?

Das wusste ich auch nicht. Da er inzwischen einige Korrekturen in seinem LaTeX gemacht hat, ist es mir klar...

Zitat:

Original von mercany
Was mache ich mir da komplizierter als es ist.... verwirrt

Ich würde sagen, vergiss das lieber; was therisen geschrieben hat, ist komplizierter als nötig.

Zitat:

Original von mercany
Ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ denn falsch oder einfach nur unschlau gewählt?

Falsch. Wie gesagt, du kannst Produkte nicht einfach integrieren, indem du die einzelnen Faktoren integrierst.

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} u &=& ax^2-b\\\frac{du}{dx}&=&2ax\\dx&=&\frac{du}{2ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~x\sin(ax^2-b)~dx&=&\int~x\sin(u)~\frac{du}{2ax}\\&=&\int~\frac{x}{2ax}\sin(u)~du\\&=&\int~\frac{1}{2a}\sin(u)~du\\&=&-\frac{1}{2a}\cos(u)\\&=&-\frac{1}{2a}\cos(ax^2-b) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von therisen
Kannst du das vielleicht ein wenig genauer ausführen?

Nein, es ist hinfällig. Dein LaTeX hatte vor dem ersten Edit einige Fehler, nicht wahr? Die haben mich zu einer Fehlinterpretation bewogen...

03.07.2005, 17:43

therisen

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Hallo nochmal,

@1,41...: Ja, mein Latex hatte einige Fehler - allerdings war mein letzter Edit um 16:19 Uhr und dein erstes Posting dazu um 16:22 Uhr. Streng genommen bin ich unschuldig Teufel

aber ich weiß natürlich wie du es gemeint hast Prost

Also komplizierter finde ich meine Schreibweisen nicht, höchstens anders als die eurigen smile

Bei mir kürzt sich ja der Wurzelterm raus und was bleibt ist genau das, was ihr auch habt.

Gruß, therisen

03.07.2005, 17:50

sqrt(2)

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Zitat:

Original von therisen
Hallo nochmal,

@1,41...: Ja, mein Latex hatte einige Fehler - allerdings war mein letzter Edit um 16:19 Uhr und dein erstes Posting dazu um 16:22 Uhr. Streng genommen bin ich unschuldig Teufel

aber ich weiß natürlich wie du es gemeint hast Prost

Gut, ich nehme es auf meine Kappe, dass ich mangels genügend negativer Masse nicht auf den Überlichtgeschwindigkeitsmodus umschalten kann... Augenzwinkern

Zitat:

Original von therisen
Also komplizierter finde ich meine Schreibweisen nicht, höchstens anders als die eurigen smile

Bei mir kürzt sich ja der Wurzelterm raus und was bleibt ist genau das, was ihr auch habt.

Klar. Was ich eigentlich meinte, ist "didaktisch ungünstig", weil wir es eben die ganze Zeit schon anders gemacht haben. Wenn mercany das noch nicht ganz sicher beherrscht, finde ich es halt ein bisschen ungünstig, eine Variation des Verfahrens einzuführen.

03.07.2005, 18:13

mercany

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Danke euch beiden!

Ich sehe, dass ich da noch einiges zu lernen habe. Also entschuldigung, dass es momentan noch nicht so gut klappt... unglücklich

@sqrt
ist das ein schreibfehler mit dem Minus bei $\begin{eqnarray*} ax^2 - b \end{eqnarray*}$ oder hab ich da schon wieder etwas verpasst verwirrt

Gruß
mercany

03.07.2005, 18:19

sqrt(2)

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Ja, ist ein Schreibfehler.

03.07.2005, 18:32

mercany

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$\begin{eqnarray*} \int~x^3 \cdot cos(ax^4+b)~dx &=& \frac{1}{4a}sin(ax^4+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{sin(x)}{cos(x)}~dx &=& -ln|cos(x)| \end{eqnarray*}$

--------------------------------

Gibt es noch weitere Arten von Möglichkeiten, bestimmte Aufgabe zu lösen?

Gruß, mercany

03.07.2005, 18:39

therisen

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Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} \int~x^3 \cdot cos(ax^4+b)~dx &=& \frac{1}{4a}sin(ax^4+b) \end{eqnarray*}$

Gibt es noch weitere Arten von Möglichkeiten, bestimmte Aufgabe zu lösen?

Hi,
die Stammfunktion kann nicht stimmen: $\begin{eqnarray*} F'(x)=\cos(ax^4+b)\neq f(x)=x^3\cdot \cos(ax^4+b) \end{eqnarray*}$

Die andere passt aber.

Es gibt noch die partielle Integration und die Partialbruchzerlegung für gebrochenrationale Funktionen.

Gruß, therisen

03.07.2005, 18:48

mercany

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hmm, ich verstehe nicht ganz was du meinst therisen.

also ich habs so gemacht:

$\begin{eqnarray*} u = ax^4 + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 4ax^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{4ax^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~x^3 \cdot cos(ax^4+b)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int~x^3 \cdot cos(u)~\frac{du}{4ax^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int~\frac{x^3}{4ax^3}cos(u)~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int~\frac{1}{4a}cos(ax^4+b)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4a}sin(ax^4+b) \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

03.07.2005, 18:55

therisen

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Hallo mercany,
ich glaube, du verstehst das Prinzip der Integration nicht.

Hier mal ein paar Aufgaben für dich:

a) $\begin{eqnarray*} \int f(x)~dx=sin(ax^4+b) \end{eqnarray*}$
Bestimme f(x).

b) Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\tan(x^3)} \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} \int f''(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Latex

Gruß, therisen

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