Schnitt eines Paraboloids mit einem Zylinder

28.06.2005, 15:29

Cranton

Schnitt eines Paraboloids mit einem Zylinder

Ich hab h,g als Gleichungen eines Schnitts bekomnen.

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z) = x^2 +2y^2 -z-3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x,y,z) = 2x^2 +z^2 -2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun die Aufgaben:
1.) Zeigen sie dass die Schnittkurve im Punkt Q(-1,1,0) durch z Paramtrisierbar ist.

2.) Geben sie die Gleichung der Tangentialebenen an die Flächen an.

3.) Geben sie die Tangente an die Schnittkurve an.

Die Schnittkurve sollte doch etwa wie eine etwas wellige Ellipse aussehen, da der Paraboloid nicht kreisförmig ist. Aber wie kann ich eine Form erzeugen, in der ich ihn als Gleichung ausdrücken kann.

Basis sollte wohl eine Ellipse sein mit einem Zusatz der mir die Wellenform bringt.

$\begin{eqnarray*} G_{Ellipse}: \frac{x}{a^2}+\frac{y}{b^2} + \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$
Wobei das z im Vektor konstant sein sollte.

Achso wir sind beim Thema Vektoranalysis

28.06.2005, 17:21

etzwane

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so ungefähr könnte es aussehen:

28.06.2005, 22:46

Cranton

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Kurze Frage OT,

mit welchem Programm kann ich die Funktion so plotten.

Da bin ich bis jetzt auch schon dran gescheitert

28.06.2005, 22:53

Ben Sisko

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Die Boardsuche ist auch dein Freund...

Gruß vom Ben

28.06.2005, 23:04

Cranton

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Ich frag deshalb hier, weil ichs mit Maple nicht hinbekomm.
Ich frag nicht nach Programmen mit denen man plotten kann. Die kennt man ja vom Namen her.

Wollte genau das Programm haben, dass hier verwendet wurde.

Grüße Cranton

28.06.2005, 23:08

etzwane

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Zitat:

Original von Cranton
mit welchem Programm kann ich die Funktion so plotten.

Das war mit MuPAD light geplottet, ist kostenlos, dafür etwas benutzerunfreundlich

28.06.2005, 23:49

Cranton

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Jetzt aber wieder zurück zum Thema.

Ok, hab mich selbst beim plotten vertan.

Jetzt kann man sich das wenigstens mal vorstellen.

Wie komm ich jetzt an eine parametrisierte Form der Schnitte heran.

Muss man die einfach gleichsetzen und ausrechnen.

Mir fehlt grad ein Ansatz für die Aufgabe.

PS.: Danke für die Antwort etzwane

29.06.2005, 07:06

Leopold

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In 1.) bedeutet die Parametrisierbarkeit durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ja nichts anderes,als daß man die Gleichung

$\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = \begin{pmatrix} g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+2y^2 - z - 3 \\ 2x^2 + z^2 - 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ lokal nach $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ auflösen soll. Diese Aufgabe kann man nun unterschiedlich verstehen. Entweder ist gemeint, daß eine solche Auflösung explizit angegeben werden soll, oder aber, daß lediglich die Existenz einer solchen Auflösung gezeigt werden soll. Jetzt hängt es von deinen Vorkenntnissen ab, wie es weitergeht. Wenn dir der Satz über implizite Funktionen ein Begriff ist, so mußt du nur überprüfen, ob die Funktionaldeterminante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{h}}{\partial{x}} & \frac{\partial{h}}{\partial{y}} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} (-1,1,0) \end{eqnarray*}$ einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Dies garantiert die Auflösbarkeit nach $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .

Hier ist es aber sogar möglich, explizit aufzulösen. Stelle $\begin{eqnarray*} h(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ um und setze in $\begin{eqnarray*} g(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ ein. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ angeben:

$\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{1 - \frac{1}{2}z^2} \, , \ \ y = \frac{1}{2} \, \sqrt{z^2+2z+4} \end{eqnarray*}$

Wenn du für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ jetzt noch den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einführst, hast du die folgende explizite Parametrisierung der Kurve in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gilt also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \varphi(t) = \begin{pmatrix} - \sqrt{1 - \frac{1}{2}t^2} \\ \frac{1}{2} \, \sqrt{t^2+2t+4} \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT
Latex ausgebessert

29.06.2005, 07:42

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Ob der Leopold jemals anerkennen wird, dass es außer dem Internet Explorer auch noch anderer Browser gibt; dass es außer Windows auch noch andere Betriebssysteme gibt, die die Leute nutzen? Man soll die Hoffnung nie aufgeben...

Hier jedenfalls seine erste Formel in lesbarer Form für die alternativen Browser-Nutzer:

$\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = \begin{pmatrix} g(x,y,z) \\ h(x,y,z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+2y^2 - z - 3 \\ 2x^2 + z^2 - 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

@Leopold

Du musst eine seltsame Tastatur haben: Mir fällt schon das zweite Mal auf, dass du das Zeichen "–" statt "-" verwendest und damit das LaTeX außer Tritt bringst.

29.06.2005, 17:32

Cranton

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Danke erstmal,

das hilft mir mal weiter. Der Satz über implizite Funktionen hört sich interessant an, wo find ich da am besten einen Beweis für. Würd das gern mal nachlesen, auch wenn ich es noch nicht hatte.

29.06.2005, 17:40

Leopold

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Zitat:

Original von Cranton
wo find ich da am besten einen Beweis für

Das ist Kernstück jeder Analysis-Vorlesung (meist wohl Analysis II). Entsprechend dürfte es auch in Analysis-Büchern für das Grundstudium abgehandelt werden.

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