Epsilon-Delta-Kriterium und Lipschitz-Stetigkeit

20.01.2008, 15:02

Klappergrasmuecke

Epsilon-Delta-Kriterium und Lipschitz-Stetigkeit

Hi Leute, ich wäre um Hilfe bei folgender Aufgabe sehr dankbar.

http://img178.imageshack.us/img178/2667/epsdeltig8.png

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zu a) hab ich mir folgendes überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \in D \end{eqnarray*}$ konvergent gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \forall \delta >0: |x_n - x_0|< \delta ~ \forall n \geq N \end{eqnarray*}$

Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium folgt

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 : |f(x_n) - f(x_0)|< \varepsilon ~ \forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Das heißt also

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Folglich ist f stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

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zu b) hab ich irgendwie nichts Fruchtbares...

Ich weiß ja, dass

f ist lipschitz-stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists L>0 : |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists L>0 : |f(x)-f(x_0)| \leq L |x-x_0| ~ \forall x \in D \end{eqnarray*}$

Und dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists L>0 : (|x-x_0|<p \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| \leq L \cdot p) ~ \forall x \in D \end{eqnarray*}$

Naja irgendwie hat das nicht viel gebracht... unglücklich

Wäre über Kritik zu a) und Hilfestellungen bei b) sehr dankbar.

20.01.2008, 15:56

system-agent

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zu a)
Du hast einen Fehler:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall\delta>0:|x_n-x_0|<\delta\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Das ist zunächst mal nicht richtig, denn du bekommst ja ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ und kannst dann dein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ passend wählen.

Gib dir ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor und eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Wähle ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung. Jetzt kannst du mit dem Index der Folge weiterargumentieren...

zu b)
Du hast $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ und definierst $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{L} \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 19:50

Klappergrasmuecke

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ok ich versuch mich nochmal bei b) Augenzwinkern

22.01.2008, 20:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Es existiere nun ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist dann, dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Bevor du dich an irgendeine dieser Aufgaben wagst, lies dir das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium bitte nochmal durch! Der Satz von dir macht aber überhaupt gar keinen Sinn!
Erst wird das $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt, dann wird zu diesem festen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ bestimmt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Und das hat in keiner anderen Reihenfolge zu geschehen.

22.01.2008, 20:35

system-agent

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Im Zitat ein paar Kommentare in rot...

Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
ok ich versuch mich nochmal bei b) Augenzwinkern

f ist lipschitz-stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists L>0 : |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

Es existiere nun ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ (Das brauchst du nicht extra zu fordern oder sowas, du wählst einfach $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich so, dass $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ . Das funktioniert immer, nur du musst noch $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ konkret festlegen).
Zu zeigen ist dann, dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Weil $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt:
----- Ab hier ists falsch ----
$\begin{eqnarray*} \exists \delta, L>0 : |f(x)-f(y)| \leq L \cdot \delta ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

Jetzt wird $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{L} \end{eqnarray*}$ definiert. Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \exists \delta,\varepsilon, L>0: |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$
(Der vorige Satz ist der falscheste, denn das " $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ " ist sinnlos: Du gibst dir ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor, darfst dann $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ fordern, für ein von dir selbst gewähltem $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ )

Irgendwie hab ichs nicht ganz gerafft, oder? unglücklich

Wie es richtig weitergeht:
Ich habe dir schon gesagt, du wählst nun $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{L} \end{eqnarray*}$
Dann musst du wieder ansetzen:
Nach Voraussetzung gilt also
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq L|x-y| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich.

Jetzt ist es quasi nur noch $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ einsetzen (fast so wie du es gemacht hast)...

22.01.2008, 20:38

Klappergrasmuecke

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entschuldige, jetzt wird mir einiges klarer. ich habe die reihenfolge der quantoren wohl irgendwie nicht als wichtig angesehen. so macht das natürlich mehr sinn!

Also nochmal von vorne:

f ist lipschitz-stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists L>0 : |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists L>0: \forall \varepsilon>0: \exists \delta >0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (|x-y|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(y)| < L \cdot \delta ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists L>0: \forall \varepsilon>0: \exists \delta:= \frac{\varepsilon}{L} >0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (|x-y|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(y)| < \varepsilon ~ \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$

mmh ob das ok war? unglücklich

22.01.2008, 20:47

system-agent

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Du hast schon die ganze Zeit die richtigen Ideen, nur eben das Aufschreiben ist auch sehr wichtig Augenzwinkern

Ich schreibs mal auf:
Es ist $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist Lipschitz. Wir dürfen die Stetigkeit zeigen, das heisst für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ müssen wir die Differenz der Funktionswerte so klein kriegen wie wir wollen, das heisst: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Um das hinzubekommen, dürfen wir über den Abstand von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ verfügen, das heisst: schaffen wir für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ die angesprochene Differenz klein zu bekommen mithilfe des Abstandes von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , dann ist die Stetigkeit gezeigt!

Nun sei also ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben! (Das heisst das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist fest, hat uns irgendwer gegeben...)
Für den Abstand von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ fordere ich nun, dass
$\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$
gilt, wobei ich $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{L} \end{eqnarray*}$ haben will. Beachte: die Definition von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist nun fix, denn $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmt und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hat uns irgendjemand vorgegeben !

Nach der Voraussetzung ist nun
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq L|x-y| \end{eqnarray*}$

Sieht du nun wie es weitergeht?

22.01.2008, 20:56

Klappergrasmuecke

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danke für deien verständliche erklärung smile

ich versuch mich nochmal:

Da $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < L \cdot \delta \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{L} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

passt es so?

22.01.2008, 20:58

system-agent

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perfekt

22.01.2008, 21:04

Klappergrasmuecke

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ich danke dir für deine geduld und mühe smile

danke auch an mathespezialschüler!

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