Binomialkoeffizient

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20.01.2008, 22:51	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient Hallo, ich werde in der Schule ein Referat über den Binomialkoeffizienten halten. Die Herleitung über k-Menge aus einer n-Menge, n!/((n-k)!k!) und "n über k" hat aber mein Lehrer in der Schule schon vorgemacht. Jetzt weiß ich nicht so genau, was ich zum Thema noch wichtiges sagen könnte. Ich plane über die Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das Pascal'sche Dreieck herzuleiten. Aber so richtig wohl fühlen tu ich mich dabei nicht, denn das geht ja viel einfacher, wenn man einfach die normalen Zahlen als Pyramide schreibt also: 1 11 121 ... Kann mir vllt. jemand Anregungen geben auf was ich bei meinem Referat genauer eingehen könnte? Wäre echt dringend, ich habe nicht mehr lange Zeit. MfG Flix
20.01.2008, 23:13	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es denn mit einer Anwendung? Zum Beispiel Wahrscheinlichkeit für ein Zahlenpaar (z.B. 11 und 12 oder 45 und 46) im Lotto
20.01.2008, 23:27	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
hm an sich ja keine schlechte Idee, das Problem ist nur, dass wir eigentlich schon recht viel mit dem Binomialkoeffizienten gerechnet haben. Mein Referat soll eigentlich nicht in den Schulstoff eingreifen, sondern zusätzliche Informationen, Herleitungen etc. liefern, die mein Lehrer im Unterricht grundsätzlich nicht behandelt. MfG Flix
20.01.2008, 23:32	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest auch den binomischen Lehrsatz vorstellen: $\begin{eqnarray} (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k} \end{eqnarray}$
20.01.2008, 23:44	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das sieht ja schonmal gut aus. Kannst du mir erklären, warum n über k den Koeffizienten bildet? (Oder warum die Koeffizienten im Pascal'schen Dreieck auftreten, das dürfte ja aufs gleiche rauslaufen.) Die Herleitung des binomischen Lehrsatzes auf www.wikipedia.de ist ja SEHR umfangreich, gibt es da vllt. einen kürzeren Ansatz, in dem nur auf die Koeffizienten eingegangen wird? MfG Flix
20.01.2008, 23:48	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann den binomischen Lehrsatz auch kombinatorisch beweisen (so entstehen ja gerade die Binomialkoeffizienten). Eine interessante Folgerung daraus ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^k=0 \end{eqnarray}$ Interpretiere das im Pascalschen Dreieck. Oder $\begin{eqnarray} 2^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} \end{eqnarray}$ .
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21.01.2008, 15:07	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe noch eine Frage zu den Rechenregeln beim Binomialkoeffizienten: wenn ich beweise, dass folgende Aussage gilt: \begin{pmatrix} n \\ \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ \\ k \end{pmatrix} habe ich dann auch bewiesen, dass folgende Aussage gilt: (einfach überall + 1) \begin{pmatrix} n+1 \\ \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ \\ k+1 \end{pmatrix}
21.01.2008, 15:08	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
oh tut mir leid, vllt kann ein Moderator noch die latex-Klammern setzen. MfG Flix
21.01.2008, 15:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur als LaTeX-Anmerkung: Binomialkoeffizienten schreibt man besser gemäß \binom{n}{k} - ist kürzer und sieht besser aus. Ist leider nicht im hiesigen Formeleditor so integriert, ich weiß.

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