Potenzreihen mit Mehrfachpotenzen

30.06.2005, 14:48

Matze_V

Potenzreihen mit Mehrfachpotenzen

Hallo allerseits,

Ich knobel gerade an Potenzreihen mit Mehrfachpotenzen, allerdings ist die Literatur dazu nicht gerade üppig :-)

Als Beispiel hab ich folgende Potenzreihen :

1.) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{k^{2} }{k!} * x^{5k} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1} {k*3^{k}} * (2x-1)^{3k+2} \end{eqnarray*}$

Nun soll der Konvergenzradius bestimmt werden.
Die Entwicklungsstellen sind mir bei beiden klar, allerdings nicht wie ich auf die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ a_k*x^{k} \end{eqnarray*}$ um die Qutient- bzw. Wurzelformel für den Konvergenzradius anzuwenden.
Einfacher gesagt, wie bekomme ich es hin 5k bzw. 3k+2 auf k zu reduzieren ?

Wenn jemand einen Ansatz hätte wäre ich echt dankbar, mit freundlichem Gruß Matze

30.06.2005, 17:14

etzwane

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Kommst du weiter, wenn du z.B. in der ersten Aufgabe substituierst:

$\begin{eqnarray*} x^5=z \end{eqnarray*}$

und die Reihe als Funktion von z auffasst ?

30.06.2005, 17:55

Matze_V

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Meinst Du so in etwa ? :

$\begin{eqnarray*} z=x^{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{k^{2} }{k!} *z^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{k \to \infty } \mid \frac{k^{2}*(k+1)!}{k!*(k+1)^{2}} \mid =\lim_{k \to \infty} \mid \frac{k^{2}}{k+1} \mid =\infty \end{eqnarray*}$

Und für das Konvergenzintervall :

$\begin{eqnarray*} \mid z \mid < r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid x^{5} \mid < r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid < \sqrt[5]{r} \end{eqnarray*}$

30.06.2005, 18:58

etzwane

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Ja, so meinte ich das.
Und bei der 2. Aufgabe würde ich alles, was nicht von k abhängt, vor die Summe ziehen, und dann ebenfalls geeignet substituieren.

30.06.2005, 21:25

Matze_V

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Vielen Dank erst mal etwane
Ist es so richtig ?

Also schreib ich erst mal:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1} {k*3^{k}} * (2x-1)^{3k+2} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} (2x-1)^{2}\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1} {k*3^{k}} * (2x-1)^{3k} \end{eqnarray*}$

Substituiere $\begin{eqnarray*} z= (2x-1)^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1} {k*3^{k}} * (z)^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \mid \frac{(k+1)*3^{k+1}}{k*3^{k}} \mid = \lim_{k \to \infty} \mid \frac{3+\frac{3}{k}}{1} \mid=3 \end{eqnarray*}$

Bis hier hab ich alles soweit richtig glaub ich, aber jetzt müsste ich doch fürs Konvergenzintervall schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mid z \mid < 3 \end{eqnarray*}$

Rücksubstituieren zu der Form $\begin{eqnarray*} \mid (x-x_0) \mid < r \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid (2x-1)^{3} - \frac{1}{2} \mid < 3 \end{eqnarray*}$

Hier wirds jetzt nen bisschen Kniffelig finde ich, da ich jetzt nach x auflösen möchte, um die genauen Grenzen zu bekommen. Müsste ich jetzt eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} (2x-1)^{3} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ < bzw. > 0 machen ???

Hier hänge ich irgendwie fest verwirrt

!!!

Ich weiss das die Lösung laut Buch* $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}* \sqrt[3]{3} \end{eqnarray*}$ lauten soll. Komme allerdings auf $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}* (\sqrt[3]{3} + 1) \end{eqnarray*}$

Also ist die Frage irre ich oder das Buch ??? unglücklich

PS: Mit Buch meine ich Mathe für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; Übungsaufgaben zur Analysis Ü1 (Wenzel/Heinrich; Teubner Verlag)

01.07.2005, 03:32

Matze_V

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Hey Leute ! Ich weiß dass dieses Thema nicht unbedingt eurem Leistungsniveau entspricht, aber als Unwissender hoffe ich trotzdem auf Eure Hilfe Hilfe

!!!

Grüße Matze Wink

01.07.2005, 11:37

JochenX

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hallo

zunächst mal sei etwas geduldig, bitte! meinst du wir helfen nur dir?
wo dein ansatz mit dem x-x0 herkommt und das x0=1/2, das weiß ich nicht

ohne garantie, aber ich bin mir relativ sicher, dass ihr bereich für x falsch ist, aber genauso deiner
es gilt, dass 2x-1 das konvergenzintevall r=3.wurzel(3) hat, das heißt zwischen -3.WRZ(3) und +3.WRZ(3) liegt
jetzt addiere mal die 1 korrekt auf die -3.WRZ(3) !
dein konvergenzintervall ist hier nicht symmetrisch zur 0!

mfg jochen

ps: hast du eigentlich schon mal was davon gehört, dass man die randwerte noch extra betrachten muss?S

02.07.2005, 17:39

Matze_V

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Hallo Jochen,

zunächst entschuldige die späte Antwort. Zudem sei gesagt dass das mit der Geduld so ne Sache ist wenn einem ne Aufgabe bis spät in die Nacht durch den Kopf geistert, die man einfach nicht gelöst kriegt. Aber dass ist ja kein Grund sich gleich unter Druck gesetzt zu fühlen Augenzwinkern

.

Zur Aufgabe 2).

Zitat:

Original von LOEDwo dein ansatz mit dem x-x0 herkommt und das x0=1/2, das weiß ich nicht

Allgemein hab ich doch eine Potenzreihe vom Typ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~a_k*(x-x_0)^{n} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ das Entwicklungszentrum
der Potenzreihe ist. Laut Papulas Formelsammlung konvergiert die Reihe dann im Intervall $\begin{eqnarray*} \mid (x-x_0) \mid < r \end{eqnarray*}$ und ggf. noch in einem oder beiden Randpunkten.
Für $\begin{eqnarray*} (2x-1)^{3k}=0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann doch für das Entwicklungszentrum $\begin{eqnarray*} x_0=1/2 \end{eqnarray*}$ .
Und für das Konvergenzintervall
$\begin{eqnarray*} \mid (2x-1)^{3} - \frac{1}{2} \mid < 3 \end{eqnarray*}$

Im Löusngsteil des Aufgabenbuches ist die Lösung einfach nur mit $\begin{eqnarray*} x_0 = 1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2} * \sqrt[3]{3} \end{eqnarray*}$ angegeben.

Weiter ist nur nach dem Konvergenzradius gefragt, also sollen -laut Aufgabe- die Randpunkte nicht betrachtet werden.

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