Volumen und Schwerpunkt

30.06.2005, 20:25

Pantostin

Volumen und Schwerpunkt

Hallo,

bei folgender Aufgabe finde ich keinen Ansatz.

Ein homogener Körper K der nach Oben durch $\begin{eqnarray*} x²+y²+z²=a² \end{eqnarray*}$
begrenzt ist. Von Unten wird K durch den Kegel, dessen Spitze in 0 liegt und der mit der positiven z achsen den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$ bildet, begrenzt.

Es soll das Volumen von K mithilfe von Kugelkoordinaten berechnet werden.
Um das Volumen dieses Körpers zu berechen wollte ich eigentlich erst das Volumen des Kegels und dann das Volumen des Kugelrestes berechnen und das ganze dann Addieren. Ich weis aber nicht wie ich das anstellen soll. Man müsste dafür ja wissen wo der Kegel die Kugel schneidet.
Ich bräuchte mal einen Tip wie ich das ganze angehen kann.

30.06.2005, 20:49

etzwane

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Ein Querschnitt durch den Körper (mit a=1):

30.06.2005, 21:05

Pantostin

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Wie das ungefähr aussieht hab ich mir schon überlegt.

Wenn ich das aber allgemein ausrechne dann muss das Volumen doch von Alpha und von a abhängen. Oder?

30.06.2005, 21:34

etzwane

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Ja, du hast recht, und ich hatte die Aufgabe nicht genau gelesen.

Ich musste mal das Volumenelement für die Kugelkoordinaten nachlesen:

$\begin{eqnarray*} V=\int dV = \int_{r=0}^a \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\vartheta=0}^{\alpha} r^2 sin \vartheta~dr~d\vartheta~d\varphi \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass das so stimmt, aber du solltest dich selbst überzeugen davon.

30.06.2005, 21:58

Pantostin

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es muss cosinus Theta sein.

Und mehr muss man dafür nicht beachten?

30.06.2005, 22:07

etzwane

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Keine Ahnung, ist alles zu lange her, und bist du sicher wegen dem Kosinus ?

Bei mir zählt das theta jedenfalls vom "Nordpol" aus.

Und: man des Ergebnis kontrollieren über das Volumen von Kugelkappe und Kegel.

EDIT: Volumen des Kugelsektors (in Formelsammlung gefunden) zum Vergleich ergänzt

$\begin{eqnarray*} V_{Kugelsektor}=\frac{2\pi}{3}r^2 h \text{ bei } h=r(1-\cos \alpha) \end{eqnarray*}$

01.07.2005, 18:24

iammrvip

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Zitat:

Original von Pantostin
es muss cosinus Theta sein.

Und mehr muss man dafür nicht beachten?

Das muss es nicht. Es kommt ganz auf die Parametrisierung der Kugelfläche an. Gewöhnliche verwende ich:

$\begin{eqnarray*} \hat e_r = \begin{pmatrix} r ~ \cos \varphi ~ \sin \vartheta \\ r ~ \sin \varphi ~ \sin \vartheta \\ r \cos \vartheta \end{pmatrix}, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi, 0 \leq \vartheta \leq \pi \end{eqnarray*}$

Dann kommt man auch auf das Volumenelement:

$\begin{eqnarray*} \mathrm dV = r^2\sin \vartheta ~ \mathrm dr\mathrm d\varphi \mathrm d\vartheta \end{eqnarray*}$

01.07.2005, 18:41

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Pantostin vertritt sicher die andere, geodätische Sichtweise, also $\begin{eqnarray*} \vartheta=0 \end{eqnarray*}$ am Äquator. Beides ist natürlich völlig gleichberechtigt, nur sollte man es tunlichst nicht "mischen". Augenzwinkern

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