Irreduzible Polynome

01.07.2005, 13:24

Xayu

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Irreduzible Polynome

Hi,
Ich soll zeigen, dass folgendes Polynom irreduzibel ist, oder eine irreduzible Zerlegung angeben.:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{4} + x^{2} +1 \end{eqnarray*}$
Im Koerper $\begin{eqnarray*} K=Z_{2}, K=Z_{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K = R \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{5} \end{eqnarray*}$ habe ich bereits Zerlegungen gefunden allerdings nur durch Raten.
Jetzt das Problem:
In $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ waere es nicht sehr aufwendig zu zeigen, dass meine Zerlegung irreduzibel ist, da sie vom Grad 2 ist und es daher nur 3 moegliche Zerlegungen gibt. Diese koennte ich ohne Probleme aufschreiben. In $\begin{eqnarray*} Z_{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ jedoch weiss ich nicht wie ich es zeigen soll, in R gibt es 31 bzw. unendlich viele moegliche Polynome. Ich vermute dass das Polynom in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, aber wie zeige ich dies?

Gruss Xayu
Vielen Dank im Vorraus

01.07.2005, 13:32

JochenX

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das polynom ist über IR reduzibel
es hat keinen linearfaktor, weil keine NST, also muss es (wenn überhaupt) das produkt zweier zwwigradiger polynome sein

ansatz: x^4+x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

edit: argh hab mich glaub ich verrechnet
alternativ eben zeigen, dass ist so nicht lösbar
gleichungssystem auftsellen

edit: und dann noch falsch abschreiben Hammer

Hammer

es IST lösbar und damit dein polynom reduzibel

01.07.2005, 14:19

phi

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Hi Xayu,

Also in $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ ist dieses Polynom nicht weiter reduzierbar, denn

$\begin{eqnarray*} f(0)=0+0+1=1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(1)=1+1+1=1 \end{eqnarray*}$ , es gibt also keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ , also ist das Polynom in $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

In $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ hilft eine Multiplikationstabelle weiter...

z.B. ist in $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2^2=3^2=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^4=3^4=1 \end{eqnarray*}$ ...

...Ansatz: da $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ nur 5 Elemente hat, einfach mal alle Elemente in das Polynom einsetzten. Und dann schauen ob irgendwann 0 rauskommt. Wenn ja, ist f reduzibel, wenn nein, ist f irreduzibel.

@LOED: In IR bekomme ich mit deinem Ansatz den Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} x^4+x^2+1=x^4+(a+c)x^3+(b+d)x^2+bd \end{eqnarray*}$ ,

macht also (a+c)=0, (b+d)=1 und bd=1 ,

und wenn ich bd=1 in (b+d)=1 einsetze kommt d=1 und b=0 raus, aber dann wäre bd=0....ein Widerspruch.

Heißt das, das das Polynom in IR vielleicht doch irreduzibel ist?

01.07.2005, 14:31

JochenX

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hallo phi:
f(X) irreduzibel => f hat keine NST
aber die umkehrung gilt im allgemeinen nicht!

Gegenbeispiel über IR: f(x)=(x^2+1)^2 reduzibel, ohne reelle nullstelle

edit: hallo phi
vor x^2 fehlt noch ein "+ac"
und den teil mit nur x hast du ganz unterschlagen

01.07.2005, 15:07

phi

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hallo LOED,

Stimmt, es ist dann (b+d+ac)=1 (koeffizient von x^2) und (ad+bc)=0 (koeffizient von x), zusätzlich zu bd=1 und (a+c)=0 Hammer

Hammer

01.07.2005, 15:14

JochenX

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richtig und dann findet man fast schon durch genaues hinsehen eine lösung
zumindest führt die erste vermutung, die ich hatte gleich zu einer.....

viel spaß!

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01.07.2005, 15:26

phi

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Ich hab´s (für IR) ! Xayu, konntest du folgen?

Edit: Und dass hat mich auch gleich zu einer Zerlegung in $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ geführt! Somit ist auch dieses Polynom ein Gegenbeispiel dafür dass aus 'keine Nullstellen' nicht 'irreduzibel' folgt...

01.07.2005, 15:28

JochenX

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ich wunder mich jetzt gerade: gibt es irgendeinen grund, warum die gleihe zerlegung über Z5 und Z2 nicht funktionieren sollte?

01.07.2005, 15:35

phi

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In $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ funzt es nicht weil dort -1 = 1 und 2=0 ist, und man dann
$\begin{eqnarray*} x^4+2x^2+1=x^4+1 \end{eqnarray*}$ herausbekommt.

In $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ funzt es aber, wenn man für -1 das entsprechende Element nimmt.

01.07.2005, 15:36

JochenX

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in Z2 geht es wunderbar, du hast dich verrechnet nehme ich an.
wieso sollte da plötzlich 2x^2 rauskommen?

01.07.2005, 15:39

Xayu

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Vielen Dank ihr habt mir sehr geholfen, konnte nun zeigen dass meine bereits gefundenen Zerlegungen fuer $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel sind. Nun versuche ich den Koeffizientenvergleich. Verstehe da leider noch nicht so ganz warum du nur 2 Koeffizienten hast , wieso steht vor $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kein Faktor ? In $\begin{eqnarray*} |R \end{eqnarray*}$ wuerden doch auch Faktoren ungleich 1 funktionieren zB.: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^2 \cdot 2x^2 = x^4 \end{eqnarray*}$

Gruss Xayu

01.07.2005, 15:46

phi

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Bin heute irgendwie besonders schusselig im ausrechnen, stimmt in Z2 geht´s auch.

@ Xayu: Poste doch mal deine Zerlegungen, damit wir vergleichen können. Wo fehlen Faktoren?

01.07.2005, 16:00

Xayu

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Also meine Zerlegungen:
Fuer $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (x^2 + x + 1)^2 \end{eqnarray*}$
Fuer $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (x^2 + x + 1)(x^2 + 4x +1) \end{eqnarray*}$

Mit dem Faktor meine ich, du hast ein a,b,c,d also 4 faktoren je 2 fuer $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ aber keine faktoren fuer $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .

edit: Ich glaub ich bin gerade selbst draufgekommen mit Aequivalenzumformung laesst sich ja der Faktor vonr $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eliminieren richtig ?

01.07.2005, 16:12

phi

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Hast du vielleicht nicht mitbekommen, aber das hatten wir hier geklärt

Zitat:

Original von phi
hallo LOED,

Stimmt, es ist dann (b+d+ac)=1 (koeffizient von x^2) und (ad+bc)=0 (koeffizient von x), zusätzlich zu bd=1 und (a+c)=0 Hammer

Hammer

Edit: Achso!, jetzt weiß ich was du meinst; Nein, das würde die Definition von 'irreduzibles Polynom' glaub ich auf den Kopf stellen.

Jo, die Zerlegungen hab´ich auch, bin mir nicht sicher ob´s in Z5 noch welche gibt.

Und in IR?

01.07.2005, 16:15

Xayu

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In R hab ich noch kein Ergebnis

edit: Habe den Koeffizientenvergleich aufgeloest und bekomme eine ekelhafte Gleichung mit nur noch einer Variablen raus, die b in 2 Wurzeln beinhaltet, diese Gleichung kriege ich aber nicht geloest habe ich etwas falsch gemacht ?

01.07.2005, 16:22

JochenX

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ist doch hier völlig egal, ob es noch weitere gibt; eine reicht doch
an sich läuft das immer heraus auf das lösen eines (leider nichtlinearen) Gleichungssystems

mfg jochen

Zitat:

In R hab ich noch kein Ergebnis

und was willst du uns damit sagen?

01.07.2005, 16:23

phi

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Tip: In $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ ist doch 4+1=0....und in IR?

01.07.2005, 16:45

Xayu

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4 + 1 ist 5 in R weiss leider nicht worauf du damit hinaus willst Phi
Habe nun folgende Gleichung $\begin{eqnarray*} b^6 - b^5 -b^4 -b^2 -b + 1 = 0, b \neq 0 \end{eqnarray*}$
Leider sehe ich hier auf anHieb keine Nullstelle. Ich werd mal sehen wenn ich eine finde sollte ich das Polynom haben.

01.07.2005, 16:58

phi

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Zitat:

Original von Xayu
Also meine Zerlegungen:

Fuer $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (x^2 + x + 1)(x^2 + 4x +1) \end{eqnarray*}$

..da haben wir doch x + 4x =0. d.h. a=1, c=4. So und in IR ist auch a=1 und c =.... damit sich alle x aufheben ?

Edit: Da du anscheinend nicht drauf kommst: x+....=0. Was ist ...?

(Was du mit b^6-b^5...u.s.w. meinst verstehe ich nicht.)

02.07.2005, 02:22

Xayu

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Meine Antwort kommt leider etwas verspätet, da ich zwischenzeitig keine Möglichkeit hatte ins Internet zu gehen, habe mittlerweile die Polynomzerlegung raus. Manchmal sieht man halt den Wald vor lauter Bäumen nicht. Mein Ergebnis ist nun: $\begin{eqnarray*} (x^2 + x + 1)(x^2 -x+1) \end{eqnarray*}$
Vielen Dank nochmal für eure Mühe und Geduld ihr habt mir sehr geholfen. Weiter so ! Freude

Freude

Gruß Xayu

02.07.2005, 09:15

phi

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Genau! a=b=d=1 und c=-1. smile

smile

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