Integrations-Problem

21.01.2008, 10:56

Daniel-DT

Integrations-Problem

Hi,

Ich komme auf keinen grünen Zweig mit diesem Integral. Kennt jemand einen guten Ansatz?

Integral: $\begin{eqnarray*} (x^3-x+1)/(x^4-1) \end{eqnarray*}$

Danke,
Daniel

21.01.2008, 11:04

Dual Space

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RE: Integrations-Problem
Schon mal eine Partialbruchzerlegung des Integranden probiert?

21.01.2008, 12:08

Daniel-DT

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RE: Integrations-Problem
Stimmt. Dann geht es. --> 1/2 * ( lnIx-1I - lnIx+1I )

Danke!

(Hab' als Erstes an Polynomdivison gedacht - Das war aber ein langer Irrweg)

21.01.2008, 12:11

Dual Space

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RE: Integrations-Problem

Zitat:

Original von Daniel-DT
(Hab' als Erstes an Polynomdivison gedacht - Das war aber ein langer Irrweg)

Und war von vornherein zum Scheitern verurteilt, da in der Nennerfunktion höhere Potenzen auftreten, als in der Zählerfunktion. Augenzwinkern

21.01.2008, 13:00

Daniel DT

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Nochmal Dnake für den Tip - Dual Space!

Hast du auch einen Tip für das folgende (wohl uneigentliche) Integral:

Integral von 1 bis 2 : x*e^[sqrt(x²-1)] dx

Auf den Ersten Blick sieht es nach partieller Integration (Produktintegration) aus. Wegen dem e^... wird das aber auch nicht viel leichter, da das x noch mit in der Wurzel steht.

Bye,
Daniel

21.01.2008, 17:46

Tomtomtomtom

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So ein einzelner Faktor vor einem komplizierten Ausdruck kann nicht nur auf partielle Integration hinweisen. Er kann auch auf eine Substitution hinweisen, bei der er sich genau mit dem Ausdruck wegkürzt, der durch die Funktionaldeterminante entsteht.

(Also mal als konkretes Beispiel: Wenn du in deiner Aufgabe x^2=u oder ähnliches substituierst, ist dx=du/2x, und das 2x kürzt sich mit dem Faktor x. Ich sehe aber auch gerade nicht, wie man von da aus weiter kommt.)

Aber ncoh was zu deiner ersten Aufgabe: Das Ergebnis ist glaub ich falsch. Was hast du denn als Partialbruchzerlegung rausbekommen?

21.01.2008, 21:21

Mathespezialschüler

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Also uneigentlich ist dieses Integral nicht. Die nacheinander ausgeführten Substitionen

$\begin{eqnarray*} u=x^2-1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} t^2=u \end{eqnarray*}$

führen auf ein bekanntes Integral. Man kann sie auch in einem Schritt machen, also

$\begin{eqnarray*} x^2-1=t^2 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ .

22.01.2008, 09:24

Daniel-DT

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Also für die Partitialbrüche hab ich folgendes:
> Nullstellen im Nenner sind 1 und -1
> A / ( x-1) + B / (x+1)
> x³-x+1 = A*(x+1) + B*(x-1)
> Nullstellen einsetzten: A = 1/2 und B = -1/2
> Integral {0,5/(x-1) dx} - Integral {0,5/(x+1) dx}
> Grundintegral: Integral{a/(x-b) dx} = a * ln l x-bl
> 0,5 * ln l x-1l - 0,5 * ln l x+1 l

Müsste doch Stimmen - Oder sind 1 und -1 doppelte Nullstellen. Dann würde sich noch was ändern....

22.01.2008, 09:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daniel-DT
Also für die Partitialbrüche hab ich folgendes:
> Nullstellen im Nenner sind 1 und -1
> A / ( x-1) + B / (x+1)
> x³-x+1 = A*(x+1) + B*(x-1)

Wie man leicht sieht, kommt in der letzten Zeile auf der rechten Seite kein x³ vor. Also ist dieser Ansatz offensichtlich ungeeignet. Wenn, dann mußt du schon den kompletten Nenner betrachten und den dazu passenden Ansatz verwenden. Wegen $\begin{eqnarray*} x^4-1 = (x+1)(x-1)(x^2+1) \end{eqnarray*}$ lautet dieser:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3-x+1}{x^4-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 09:48

Daniel-DT

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wäre das hier auch richtig?

$\begin{eqnarray*} x^4 + 1 = (x^2 +1) * (x^2 -1) \end{eqnarray*}$

Dann jeweils dopplete Nullstellen bei 1 und -1 ergeben

$\begin{eqnarray*} A1/(x-1) + A1/(x-1)^2 + B1/(x+1) + B2/(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 10:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daniel-DT
$\begin{eqnarray*} x^4 + 1 = (x^2 +1) * (x^2 -1) \end{eqnarray*}$

Da ist das schon falsch.

Zitat:

Original von Daniel-DT
$\begin{eqnarray*} (x^2 +1) * (x^2 -1) \end{eqnarray*}$

Dann jeweils dopplete Nullstellen bei 1 und -1 ergeben

Das hat keine doppelten Nullstellen.

22.01.2008, 10:18

Daniel-DT

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Das Cx+D / x²+1 resultiert wohl aus dem (x²+1)

Wie sind sie auf diesen Bruch gekommen? In meinem Buch bei Partialbruchzerlegung finde ich nichts darüber :-(

22.01.2008, 10:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daniel-DT
Das Cx+D / x²+1 resultiert wohl aus dem (x²+1)

Nun ja, das resultiert eher aus den Regeln der Partialbruchzerlegung.

Zitat:

Original von Daniel-DT
Wie sind sie auf diesen Bruch gekommen? In meinem Buch bei Partialbruchzerlegung finde ich nichts darüber :-(

Dann wirf das Buch weg oder schau nochmal genau nach. Augenzwinkern

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