Multivariate Normalverteilung

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PhilipK Auf diesen Beitrag antworten »
Multivariate Normalverteilung
Hallo allerseits,

ich hab' mal wieder ein Problem mit der Multivariaten Statistik.

Und zwar habe ich eine Anzahl von abhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen. Ich kenne die Kovarianzmatrix. Jetzt stellt sich die Frage, wenn ich die eindimensional normalvervteilten Zufallsvariablen zu einem Zufallsvektor zusammenfüge, entspricht der dann der mehrdimensionalen Normalverteilung mit dem Erwartungswertvektor und der Kovarianzmatrix als Parameter?
Nicht zwangsläufig, oder?
Und gibt es dazu Regeln, wann das so ist und wann nicht? (Ich kenne nur die, dass jede Linearkombination der einzelnen Zufallsvariablen wieder normalverteilt sein müssen, was allerdings schwer nachzuprüfen ist, da sie ja abhängig sind)
Im Wikipediaeintrag zur mehrdimensionalen Normalverteilung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_Verteilung wird unter Beispiel für eine multivariate Normalverteilung so selbstverständlich davon ausgegangen, dass die Kombination von normalverteilten Zufallsvariablen eine mehrdimensional normalverteile Zufallsvariable rauskommt. Aber das ist nicht zwangsläufig so, oder?

Vielen Dank schonmal,
Philip
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deiner Befürchtung hast du Recht - man kann nur soviel sagen: Falls der Vektor überhaupt multivariat normalverteilt ist, dann auch mit diesen von dir genannten Parametern (also Erwartungwertvektor und Kovarianzmatrix).


Dass der Vektor aber nicht zwangsläufig multivariat normalverteilt sein muss, zeigt folgendes einfache Beispiel:

Seien zwei unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen. Dann sind



beides standardnormalveilte Zufallsgrößen; der Vektor ist aber mitnichten zweidimensional normalverteilt. Er ist nicht mal absolut stetig bzgl. des zweidimensionalen Lebesguemaßes! Augenzwinkern
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Verdeutlichung meines obigen Beispiels sei hier mal noch ein Plot von 1000 Simulationen von angeführt:



Und so hätte der Plot bei einer zweidimensionalen Normalverteilung mit gleicher Erwartungswert- und Kovarianzstruktur wie eigentlich aussehen müssen:

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