vollst.Induktion

21.01.2008, 21:07

moonsymmetry

vollst.Induktion

Hallo,
ich bin grad bei einer vollständigen induktion dabei und kapiere diesen schritt hier nicht...
könnte mir jemand erklären was gemacht wird?
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2^n*x)}{2^n*sin(x)} *cos(2^nx)= \end{eqnarray*}$

wie kommt man hier auf die nächste zeile? -->

$\begin{eqnarray*} \frac{2*sin(\frac{2*2^n}{2}*x)*cos(\frac{2*2^n}{2}*x)}{2*2^n*sin(x)}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2*2^n*x)}{2*2^n*sin(x)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sind(2^{n+1}*x)}{2^{n+1}*sin(x)} \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 21:42

Mathespezialschüler

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Der gesamte Bruch wurde mit zwei erweitert. Außerdem wurde in den Argumenten vom Sinus und vom Cosinus im Zähler auch jeweils mit zwei erweitert.

21.01.2008, 21:42

Mazze

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Es wurde an 3 Stellen (die darfst Du selber finden) mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$ multipliziert und das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} sin(2x) =2 sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$

verwendent.

edit

zu spät ;D

21.01.2008, 21:53

moonsymmetry

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re
hmm wie kommt man denn da drauf?
also ich multipliziere $\begin{eqnarray*} sin(2^nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(2^nx) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2/2 \end{eqnarray*}$ aber wieso? und wie ist das mit dem additionstheorem zu verstehen?

21.01.2008, 22:00

Mazze

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Zitat:

hmm wie kommt man denn da drauf?

Der Ursprung dessen ist das die 1 das neutrale Element im Körper der reellen Zahlen bezüglich Multiplikation ist. Oder anders gesprochen :

$\begin{eqnarray*} 1*x = x \end{eqnarray*}$

daher kann man in manchen Situationen durch geschicktes erweitern mit einer 1 eine schöne Umformung machen. In der Regel muss man für sowas aber ein Händchen haben. In unserem Fall wurde einfach, wie schon gesagt, mit $\begin{eqnarray*} 1 = \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$ erweitert.

Zitat:

also ich multipliziere $\begin{eqnarray*} sin(2^nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(2^nx) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2/2 \end{eqnarray*}$

die Funktionen wurden nicht mit 2/2 multipliziert sondern die Argumente der Funktionen.

Zitat:

aber wieso?

Damit man das Additionstheorem anwenden kann.

Zitat:

und wie ist das mit dem additionstheorem zu verstehen?

In diesem Schritt hier

$\begin{eqnarray*} \frac{2*sin(\frac{2*2^n}{2}*x)*cos(\frac{2*2^n}{2}*x)}{2*2^n*sin(x)}=\frac{sin(2*2^n*x)}{2*2^n*sin(x)} \end{eqnarray*}$

wurde das Additionstheorem verwendet.

21.01.2008, 22:07

moonsymmetry

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re
danke für die aufschlussreiche antwort... smile

ist mir nun klar.. aber das is ganz schön schwierig auf so einen schritt zu kommen :/

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