Rechenregeln in Ringen

21.01.2008, 20:16

Insanity84

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Rechenregeln in Ringen

Es sei $\begin{eqnarray*} (R,+, \cdot) \end{eqnarray*}$ ein Ring und $\begin{eqnarray*} a, b, c \in R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

Ich finde leider keinen Ansatz, kann mir jemand helfen?

21.01.2008, 20:29

Mathespezialschüler

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Warum da noch $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ stehen, kann ich mir zwar nicht erklären, aber zur Aufgabe sei dir gesagt, dass du $\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$ und das Distributivgesetz verwenden solltest.

21.01.2008, 21:33

Insanity84

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Sorry, da habe ich nicht aufgefasst, die Aufgabe umfasst noch weitere zu beweisende Rechenregeln, die ich hier ausgelassen habe.

Zur Loesung der Aufgabe:
Koennte ich das so aufschreiben?:

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 21:41

Mathespezialschüler

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Nein, denn erstens benutzt du das zu beweisende dabei, das geht natürlich absolut nicht! Und des Weiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0 \end{eqnarray*}$

und nicht das, was du geschrieben hast. Aber mit dieser Gleichung hast du nun

$\begin{eqnarray*} a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0 \end{eqnarray*}$ .

Weißt du nun weiter?

21.01.2008, 21:46

Insanity84

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ich wuerde mit
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ weiter mahcen, aber dann hab ich nicht gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

21.01.2008, 21:51

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} a\cdot 0 \end{eqnarray*}$ ist ein Element des Ringes, es besitzt somit ein additives Inverses, hilft dir das?

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21.01.2008, 21:54

Insanity84

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nein das hilft mir so nicht weiter
das additive inverse ist
$\begin{eqnarray*} a + (- a) = 0 \end{eqnarray*}$ soviel weiss ich

21.01.2008, 21:58

Mathespezialschüler

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Ok. Das additive Inverse von $\begin{eqnarray*} a\cdot 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -(a\cdot 0) \end{eqnarray*}$ . Das kannst du nun auf beiden Seiten der Gleichung addieren und die Gleichung bleibt natürlich bestehen. Klingelt's jetzt endlich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2008, 21:59

tmo

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das Nullelement ist in einem Ring eindeutig bestimmt, womit sich ergibt:

$\begin{eqnarray*} a=a+b \Longleftrightarrow b = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt betrachte mal deine gleichung:

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 22:01

Insanity84

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ok. Das additive Inverse von $\begin{eqnarray*} a\cdot 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -(a\cdot 0) \end{eqnarray*}$ . Das kannst du nun auf beiden Seiten der Gleichung addieren und die Gleichung bleibt natürlich bestehen. Klingelt's jetzt endlich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Welcher beiden Gleichungen?

21.01.2008, 22:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0 \end{eqnarray*}$ .

21.01.2008, 22:08

Insanity84

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dann hab ich
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 \ \ \ \ |-(a \cdot 0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = a \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Da fehlt mir aber immer noch
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

Das gleiche bei tmo
wenn aus
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
fehlt $\begin{eqnarray*} 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 22:10

Mathespezialschüler

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Das machst du genauso:

$\begin{eqnarray*} 0\cdot a=(0+0)\cdot a=\ldots \end{eqnarray*}$ .

Und dann analog.

21.01.2008, 22:12

Insanity84

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oke den gedanken hat ich auch, ich dacht es gaebe ne moeglichkeit, das in eins zu machen.
dass
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich dadurch gezeigt, dass beides jeweils 0 ergibt?

21.01.2008, 22:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Insanity84
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich dadurch gezeigt, dass beides jeweils 0 ergibt?

Wodurch?

21.01.2008, 22:19

Insanity84

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Hab ich denn wenigstens bei dieser Aufgabe richtig argumentiert?:

Aufgabenstellung wie oben:

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} a \cdot (-b) = (-a) \cdot b = -(a \cdot b) \end{eqnarray*}$
Mein Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} = a \cdot [ (-1)\cdot b] = a \cdot (-1) \cdot b = (-1) \cdot a \cdot b = (-1) \cdot (a \cdot b) = -(a \cdot b) \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 22:22

Insanity84

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Insanity84
$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich dadurch gezeigt, dass beides jeweils 0 ergibt?

Wodurch?

Wenn ich jeweils analog rechne und bei beiden steht

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn nicht, dann fehlt das noch in meiner Argumentation und ich weiss nicht, wie ich das sonst zeigen kann.

21.01.2008, 22:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Insanity84
Wenn ich jeweils analog rechne und bei beiden steht

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

Das reicht. Wenn du $\begin{eqnarray*} a\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\cdot a=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt hast, bist du fertig.

Bei der anderen Aufgabe: Die Lösung ist nur dann richtig, wenn du schon

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot a=a\cdot (-1)=-a \end{eqnarray*}$

gezeigt hast bzw. diese Aussage schon kennst!

21.01.2008, 22:34

Insanity84

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Super da bin ich jetzt erleichtert, dass die Aufgabe soweit richtig argumentiert ist.
Werde die Aussage allerdings noch mit einbauen!
Dankesehr und noch einen schoenen Abend smile

smile

04.03.2010, 13:20

hakkejimmy

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Hallo alle zusammen, bin jetzt gerade an der zweiten Aufgabe dran:
$\begin{eqnarray*} a*(-b) = (-a)*b = -(a*b) \end{eqnarray*}$

Wollte jetzt erstmal versuchen zu zeigen das folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} (-1)*a = a*(-1) = -a \end{eqnarray*}$

nur habe jetzt eine kleine denkblockade. Bei der vorherigen Aufgabe haben wir ja $\begin{eqnarray*} 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt und wie mache ich das jetzt bei $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ??

04.03.2010, 13:26

hakkejimmy

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Hat sich schon erledigt. bin auf die Lösung gekommen..

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