Erwartungswert Gauß-Funktion (Integration)

Neue Frage »

02.07.2005, 23:26	Passepartout	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Gauß-Funktion (Integration) Hallo, ich bin gerade dabei ein bißchen mit Integralen zu spielen. Möchte nun gerne den Erwartungswert folgender Funktion berechnen: $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\tilde{x})}{2\sigma^2}} \end{eqnarray}$ Natürlich ist mir klar, dass dies die Gauß-Verteilung ist, und dass der Erwartungswert $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ ist, aber das wollen wir nun erstmal vergessen Und zwar möchte ich gerne über den allgemeineren Weg vorgehen, nämlich folgenden: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~x~F(x)~dx = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~\int_{-\infty}^{\infty}~x~e^{-\frac{(x-\tilde{x})}{2\sigma^2}} \end{eqnarray}$ Mein erster Ansatz war Substitution: $\begin{eqnarray} \xi=x-\tilde{x} \rightarrow d\xi = dx \end{eqnarray}$ Ziel war es dabei mittelfristig auf folgendes zu kommen, dessen Lösung mir bekannt ist: $\begin{eqnarray} \alpha \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-x^2}~dx \end{eqnarray}$ Hat aber nicht so richtig geklappt, hatte dann partielle Integration versucht, kam aber auch nicht so richtig weiter damit. Vielleicht habt ihr ja nen Anschubser oder einen Link, wo etwas darüber steht (habe leider bisher nichts finden können) Liebe Grüße und vielen Dank, Michael
03.07.2005, 07:20	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn eine stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray}$ ?
03.07.2005, 09:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Passepartout Dass du die Normalverteilungsdichte $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nennst, ist zwar nicht verboten aber höchst ungewöhnlich und gibt reichlich Anlass zu Verwechslungen mit der Verteilungsfunktion. Schlimmer ist schon das vergessene Quadrat im Exponenten. Richtig ist also $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\tilde{x})^2}{2\sigma^2}} \end{eqnarray}$ Zum Erfolg führt tatsächlich eine Substitution, die sollte aber gleich $\begin{eqnarray} \xi = \frac{x-\tilde{x}}{\sigma} \rightarrow \mathrm{d}\xi = \frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ lauten. Richtig durchgeführt steht dann eine Summe der beiden Integrale $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty}~e^{-\frac{\xi^2}{2}}\,\mathrm{d}\xi,\qquad \int\limits_{-\infty}^{\infty}~\xi e^{-\frac{\xi^2}{2}}\,\mathrm{d}\xi \end{eqnarray}$ da - natürlich noch mit Vorfaktoren versehen. Das erste kannst du (nach deinen Bemerkungen zu urteilen) berechnen; für das zweite existiert sogar eine einfach angebbare Stammfunktion.
03.07.2005, 10:42	Passepartout	Auf diesen Beitrag antworten »
s.o. Hallo Arthur, habe vielen Dank für Deine Hinweise. Den Exponenten hatte ich tatsächlich vergessen, aber gut, dass ihr aufgepasst habt. (Wie bennent man denn die Normalverteilung mit einem Buchstaben?) Das zweite Integral macht mir keine Probleme, dort ist die Lösung $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ Beim ersten komme ich jedoch nicht recht weiter, da bei mir dort unendlich raus kommt. Versuche das mal darzulegen: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~\xi~e^{-\frac{\xi^2}{2}}~d\xi = \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-u}~du~~\text{mit}~u= \frac{\xi^2}{2}\\=[-e^{-u}]_{-\infty}^{\infty} = -e^{-\infty}+e^{\infty} = 0 + \infty \end{eqnarray}$ Optimal wäre es ja nun, wenn sich hier 0 ergäbe, weil im zweiten Integral ja genau derjenige Term entsteht, der mit dem Normierungsfaktor gemeinsam $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ übriglässt. Habe solch eine Funktion mal geplottet und dort ergibt sich auch dieses 0, nur will das formelmäßig nicht hinhauen... Wenn Du da noch nen Tipp hättest, wäre das spitze, danke! Gruß, Michael
03.07.2005, 10:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstens: Wir betrachten hier ein uneigentliches Integral, d.h., genau genommen müsste man schreiben $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty}~\xi~e^{-\frac{\xi^2}{2}}~\mathrm{d}\xi =\lim\limits_{\substack{a\to-\infty\\ b\to\infty}}g(a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(a,b) := \int\limits_{a}^b~\xi~e^{-\frac{\xi^2}{2}}~\mathrm{d}\xi \end{eqnarray}$ Zweitens: Bei letzterem musst du beim Substituieren auch die Integralgrenzen mitsubstituieren!!! Also mit $\begin{eqnarray} u=\frac{\xi^2}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(a,b)=\int\limits_{a^2/2}^{b^2/2}~e^{-u}\,\mathrm{d}u \end{eqnarray}$ Ich kann dann wohl hier aufhören, oder?
03.07.2005, 11:07	Passepartout	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke :) Habe vielen Dank , das mit den Grenzwerten verdüdel ich irgendwie immer. Nun kommt auch 0 raus und demzufolge der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ ! Supi, das hat ja gut geklappt, vielen Dank, bin voll glücklich nun! Einen schönen Tag und verlier Dein Handtuch nicht Gruß, Michael
Anzeige

26.05.2006, 14:45	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte da auch noch eine klitzekleine Frage zu folgendem Bild: http://img148.imageshack.us/img148/7016/bild0hf.jpg Woher kommt ich die "1" aus dem ersten Integral? Hat jemand einen Tipp, wie man das zu Fuß ausrechnen könnte? Schonmals vielen Dank!
26.05.2006, 15:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einfachste Weg, das zu sehen - ohne irgendwelche Funktionentheorie und Residuensatz usw. - geht etwa so: Sei $\begin{eqnarray} I:=\int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ das zu bestimmende Integral. Dann gilt $\begin{eqnarray} I^2 = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \mathrm{d}x ~ \cdot ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^{-\frac{y^2}{2}} ~ \mathrm{d}y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Jetzt führt man für dieses zweidimensionale Integral eine Polarkoordinatentransformation aus, d.h. $\begin{eqnarray} x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi \end{eqnarray}$ mit Jacobi-Determinante $\begin{eqnarray} J = \det\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right) = \begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix} = r \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y = J ~ \mathrm{d}r ~ \mathrm{d}\varphi \end{eqnarray}$ ergibt sich dann nach Integraltransformation $\begin{eqnarray} I^2 = \int\limits_{r=0}^{\infty} ~ \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} ~ re^{-\frac{r^2}{2}} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}r \end{eqnarray}$ Und das ist ja dann einfach zu bestimmen...
26.05.2006, 15:19	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch, ja, da hätte ich eigentlich selbst drauf kommen müssen.. Vielen Dank!
26.05.2006, 15:46	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, halt..Moment.. So wie du es hier geschrieben hast, hatte ich es auch schonmal gerechnet, dann kommt natürlich gerade $\begin{eqnarray} \sqrt{2 \cdot \pi} \end{eqnarray}$ raus... Aber hier geht es ja um das Integral $\begin{eqnarray} \int ~x^2\cdot e^{- \frac{x^2}{2}}~dx \end{eqnarray}$ ...also mit diesem $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ drin...Wie geht man dann vor? Ich könnte ja dann theoretisch mit dem von dir beschriebenen Integral so oft partiell integrieren, bis das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ weg ist...aber wie soll man den ersten Summanden nach der PI dann schreiben? So etwa: $\begin{eqnarray} x^2 \cdot \sqrt{\int\int r \cdot e^{- \frac{r^2}{2}}~drd \varphi} \mid_{- \infty}^{\infty} \end{eqnarray}$ ?
26.05.2006, 16:23	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu! Eigentlich brauchst du nur einmal partiell Integieren, so sieht mans besser: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}x \frac{d(e^{-\frac{x^2}{2}})}{dx}dx \end{eqnarray}$ Und da jetzt partielle Integration draufangewandt liefert dir dasselbe wie beim schon besprochenen Integral, weil der Randterm nichts beiträgt.
26.05.2006, 17:30	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt hat's geklappt!

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert Gauß-Funktion (Integration)

Verwandte Themen