Orthogonalmatrix

03.07.2005, 12:52

TobsenMH

Orthogonalmatrix

Ich habe bei folgender Aufgabe keinen Plan, wie ich anfangen kann/soll/muss und wäre für eine Starthilfe sehr dankbar!

Bestimmen Sie die Orthogonalmatrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P^{-1} AP \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, wobei $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben ist!

03.07.2005, 17:50

Leopold

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Bestimme die Eigenwerte der symmetrischen Matrix (es sind drei Stück) und zu jedem solchen einen Eigenvektor. Normiere die Eigenvektoren und ordne sie als Spalten zu einer Matrix an. Das ist deine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Und wegen der Orthogonalität ist $\begin{eqnarray*} P^{-1} \end{eqnarray*}$ einfach die Transponierte von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . (Du erhältst in der Diagonalmatrix die Eigenwerte in der Reihenfolge, wie du die Eigenvektoren in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ angeordnet hast.)

03.07.2005, 19:03

TobsenMH

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danke für deine hilfe leopold! (mathe kann so simpel sein, wenn man weiß wie´s geht Hammer

)

mein ergebnis zur kontrolle:

$\begin{eqnarray*} P= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} & \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-> muss aber eigentlich richtig sein, da ich nach invertierung und multiplikation die diagonalmatrix mit den ew herausbekomme ( so wie du es "vorausgesagt" hast ^^)

frage: ist das bei jeder orthogonalmatrix P zu einer matrix A so, oder anders formuliert: wenn in der kl die aufgabe kommt, eine orthogonal matrix zu einer matrix zu bestimmen, läuft das dann immer nach diesem schema ab (ew,ev,P)? Augenzwinkern

03.07.2005, 19:13

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Zitat:

Original von TobsenMH
wenn in der kl die aufgabe kommt, eine orthogonal matrix zu einer matrix zu bestimmen, läuft das dann immer nach diesem schema ab (ew,ev,P)? Augenzwinkern

Wenn die gegebene Matrix A symmetrisch ist: Ja!

03.07.2005, 19:37

TobsenMH

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danke arthur, und was mache ich, wenn die matrix NICHT symmetrisch ist!? oder ist das dann so kompliziert (bzw. von langer dauer), dass es für eine kl (in der ja noch etliche andere themengebiete des semesters abgefragt werden) nicht in frage kommt?

03.07.2005, 19:40

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Wenn die Matrix nicht symmetrisch ist, gibt es gar keine solche Orthogonalmatrix P. Also kannst du ganz beruhigt sein. smile

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