höhere Ableitungen

03.07.2005, 15:33

sven 1983

höhere Ableitungen

hallo,
hab hier nen kleines verständnis problem. erstmal die aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & ,\; (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & ,\; (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

1. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} d_xf \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_yf \end{eqnarray*}$ in allen Punkten.
2. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} d_xd_yf(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_yd_xf(0) \end{eqnarray*}$

die erste Aufgabe ist klar.
mein problem bei der 2.: soll ich da die 2te Ableitung im Punkt 0 berechnen?? müsste da dann nicht $\begin{eqnarray*} d_xd_yf(0,0) \end{eqnarray*}$ stehen? oder ist damit etwas anderes gemeint?

03.07.2005, 15:48

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RE: höhere Ableitungen

Zitat:

Original von sven 1983
müsste da dann nicht $\begin{eqnarray*} d_xd_yf(0,0) \end{eqnarray*}$ stehen?

Sehe ich auch so.

Übrigens, ein LaTeX-Tipp für solche fallweise definierten Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & ,\; (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & ,\; (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

03.07.2005, 15:51

iammrvip

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Hallo

Gibt es im Script vielleicht eine Anmerkung in der Art:

Für den Fall, dass x = y schreiben wir kurz $\begin{eqnarray*} \mathrm d_x\mathrm d_y f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathrm d_x\mathrm d_y f(y) \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

03.07.2005, 16:13

sven 1983

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@iammrvip: hab skript nochmal durchgegangen, nix gefunden.

denke das ist mal wieder nen fehler von prof seite aus^^

ist die 2te ableitung am punkt (0,0) nicht trivial? (0)'' = 0 ...

03.07.2005, 17:17

iammrvip

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03.07.2005, 18:27

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Irrtum: Es ist

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_x f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2} & ,\; (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & ,\; (x,y)=(0,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere heißt das $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_x f(0,y) = -y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_y\mathrm{d}_x f(0,y) = -1 \end{eqnarray*}$ . Analog kann man $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_x\mathrm{d}_y f(x,0) = 1 \end{eqnarray*}$ berechnen.

03.07.2005, 19:46

Leopold

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Zitat:

Original von sven 1983
ist die 2te ableitung am punkt (0,0) nicht trivial? (0)'' = 0 ...

Zitat:

Original von iammrvip
Ja smile

Ein wirklich schwerer Anfängerfehler! Mit dieser Methode macht man jede Ableitung an jeder Stelle zu 0.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} f'(2) \end{eqnarray*}$ ?

Nichts einfacher als das! $\begin{eqnarray*} f(2) = \operatorname{e}^2 \end{eqnarray*}$ . Und rechts steht eine Konstante. Also ist $\begin{eqnarray*} f'(2) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Da man diese Argumentation statt mit der Stelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ auch mit jeder anderen Stelle machen kann, folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}\left( \operatorname{e}^x \right)}{\mathrm{d}x} = 0 \end{eqnarray*}$

Na - wenn das mal nicht ein schönes Ergebnis ist!

03.07.2005, 19:55

sven 1983

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hehe das stimmt. wäre doch zu schön smile

was ich noch nicht verstanden hab, warum berechnest du die werte von (0,y) und (x,0) und nicht von (0,0)?

03.07.2005, 20:00

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Gegenfrage: Warum nicht? Augenzwinkern

Im Ernst, da das für alle reellen x bzw. y gilt, so auch letztendlich für x=0 bzw. y=0.

03.07.2005, 20:21

iammrvip

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von sven 1983
ist die 2te ableitung am punkt (0,0) nicht trivial? (0)'' = 0 ...

Zitat:

Original von iammrvip
Ja smile

Sry ich habe nich auf seine Notation geachtet. Hätte ich ankreiden müssen.

04.07.2005, 10:50

sven 1983

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Insbesondere heißt das $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_x f(0,y) = -y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_y\mathrm{d}_x f(0,y) = -1 \end{eqnarray*}$ . Analog kann man $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_x\mathrm{d}_y f(x,0) = 1 \end{eqnarray*}$ berechnen.

kann man daraus folgern, dass die funktion nicht 2 mal differenzierbar ist?? Laut Schwarz ist die 2. Ableitung einer stetigen Funktion symmetrisch. die ist $\begin{eqnarray*} d_xd_yf \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_yd_xf \end{eqnarray*}$ verschieden => nicht stetig => nicht differenzierbar??

04.07.2005, 17:17

lego

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der schwarzsche vertauschbarkeitssatz lautet laut meinem skriptum:

Es habe $\begin{eqnarray*} f: D->IR \end{eqnarray*}$ stetige partielle Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_x,f_y,f_xy,f_yx \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f_xy=f_yx \end{eqnarray*}$

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