Satz von taylor
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22.01.2008, 11:23 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von taylor
ich habe mal wieder eine Aufgabe, die ich ohne Hilfe nicht bearbeiten kann.
Es geht um den Satz von Taylor.

Die Aufgabe:

Bestimmen Sie für jedes a Element R \{1} die Taylorreihe (Tf)(x,a) von f: R\{1} --> R mit f(x) = 1/1-x und bestimmen sie jeweils den Konvergenzradius dieser Reihe.
Wir sollen die Taylorreihe von Hand ausrechen.
Leider kann ich diese Aufgabe nicht in latex schreiben.
Danke für eure Hilfe.
22.01.2008, 11:55 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Also das ist deine Funktion:

Und wo ist jetzt das Problem?
22.01.2008, 12:07 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Also. Ich muss gestehen, dass ich diesen Satz noch nicht richtig verstanden habe. Ich hätte jetzt so angesetzt

f(x) = Tn(x) + Rn(x)
und
Tn(x) = wobei bei f^k das k für die k-te ableitung steht.
stimmt das soweit?
22.01.2008, 12:12 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Feilen wir noch etwas an der Schreibweise, dann kommt es hin:
22.01.2008, 12:50 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Ich habe ein wenig rumprobiert und kam darauf,dass die n-te Ableitung gegen 0 konvergiert. und dass die summanden auch gegen null gehen. kann das sein?
22.01.2008, 12:55 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Hmm. Wie sieht denn die n-te Ableitung der Funktion f(x) aus?
 Anzeige 
 
22.01.2008, 12:59 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
naja ich habe mir gedacht
22.01.2008, 13:05 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ok wenn a --> 1 dann divergiert die n-te Ableitung sogar
22.01.2008, 13:08 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Zitat:
Original von Shadowoflucifer
naja ich habe mir gedacht

Denken ist gut, ob's stimmt ist eine andere Frage. Wie sieht denn die 1. Ableitung aus?

Im übrigen ist das a nicht variabel und geht demzufolge nirgendwo hin. a ist lediglich die Stelle, um die die Taylorreihe gebildet wird.
22.01.2008, 13:11 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
1/(a-1)^2
22.01.2008, 13:16 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
unglücklich Also erstmal ist deine Funktion .

Und jetzt leite das mal ab. Aber bitte richtig.
22.01.2008, 13:20 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ich bin mir nicht ganz sicher was du von mir willst. Wir reden doch hier von der ersten Ableitung von f(a), richtig?
f(a) = 1/(1-a) = -1/(a-1) = -1*(a-1)^(-1)
f'(a) = 1*(a-1)^(-2) = 1/(a-1)^2
22.01.2008, 13:23 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ok dann eben das Gleiche mit x anstatt a

also f'(x)=1/(x-1)^2
22.01.2008, 13:27 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
OK. Und jetzt bitte die 2. Ableitung.
22.01.2008, 13:28 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
-2/(x-1)^3
22.01.2008, 13:35 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
OK. Jetzt solltest du eine Idee bekommen, wie die n-te Ableitung aussieht.
22.01.2008, 13:36 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ok ich denke ich verstehe deinen punkt. die n-te ableitung wäre in diesem fall
22.01.2008, 13:42 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
OK. Das wäre noch mit vollständiger Induktion zu zeigen, aber das schenken wir uns jetzt mal. Augenzwinkern

Jetzt kannst du wieder zu deiner Taylorreihe zurückkehren.
22.01.2008, 13:49 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ok da wird sich mit dem Wissen hier einiges wegkürzen. Ich mach das gleich geh baer erstmal aufs Klo.
22.01.2008, 14:10 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Ich bin soweit, dass ich sagen kann, dass Tn,a =
kann das sein?
22.01.2008, 14:23 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Wie kommt denn das n vor die Klammer?
22.01.2008, 14:29 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ich habe gekürzt bis dastand:
da der Therm -1/a-1 von k unabhängig ist wollte ich es vor die Klammer schreiben
22.01.2008, 14:31 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
vielleicht doch eher -(n+1)/a-1
22.01.2008, 14:42 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Ich würde das mal so schreiben:
22.01.2008, 14:52 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
das hatte ich auch so. Aber dann muss ich wohl einen Fehler gemacht haben. ich habe (-1)^k+1 in (-1)*(-1)^k umgewandelt und (a-1)^k+1 in (a-1)*(a-1)^k
22.01.2008, 15:01 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Kann es sein, dass der Konvergenzradius bei x=1 liegt?
22.01.2008, 15:09 Shadowoflucifer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
ja das stimmt. Der Knovergenzradius liegt bei 1. Danke für deine hilfe und deine Geduld
22.01.2008, 15:11 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von taylor
Die Reihe würde ich so stehen lassen.

Der Konvergenzradius liegt nicht bei irgendeinem x-Wert, sondern hat einfach nur einen Wert. Ich würde aber vermuten, daß der auch von dem a abhängig ist.
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