Lösungsraum von Gleichungssystemen

22.01.2008, 13:06

Egon

Lösungsraum von Gleichungssystemen

Nachdem im anderen Thread dank der geduldigen Hilfe von WebFritzi und klarsoweit endlich der Groschen gefallen ist, stelle ich hier drei Aufgaben hinein und hoffe, dass jemand sie korrigieren mag:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

--

$\begin{eqnarray*} 6x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5x_3=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob es wirklcih R3 ist, da ja nur ein Parameter vorkommt (wie bei einer Geradengleichung). Andererseits hat es ja 3 Variablen.

--
$\begin{eqnarray*} x_1 + 4x_4 = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 - 5x_4 = -9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 - 7x_4 = 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\5\\7\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\7\\1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Gleiche Frage bezüglich Dimension des Lösungsraums; die Darstellung erinnert mich an die Parameterform einer Geraden, aber es hat ja vier Komponenten.

Vielen Dank.

22.01.2008, 13:26

tigerbine

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RE: Lösungsraum von Gleichungssystemen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Was ist da deine Strategie? verwirrt

Ich wäre so rangegangen. LGS aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Variable ist frei wählbar, nehmen wir:

$\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 4-x_2=4-t \end{eqnarray*}$

Und der Lösungsraum ist:

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 14:33

Egon

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RE: Lösungsraum von Gleichungssystemen
Hallo Tigerbine

Meine Strategie war, dass ich (warum eigentlich?) x2 = t genomen habe und deshalb (-1;1) als Vektor erhielt.

Und das andere war, dass ich (auch ohne näheren Grund) die spezielle Lösung 3+1 statt 4+0 genommen habe; einfach so, weil es möglich ist.

Gehe ich aber richtig in der Annahme, dass deine und meine Lösung äquivalent sind, wenn auch deine sicher "schöner" ist?

22.01.2008, 14:36

tigerbine

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RE: Lösungsraum von Gleichungssystemen
Beide Lösungen sind möglich, und es gibt noch unendlich viele andere. Meine ist nicht schöner, sondern imho strukturierter auf den Gauss-Algorithmus bezogen. Augenzwinkern

22.01.2008, 14:37

tmo

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ja die beiden lösungsräume sind gleich.

edit: hab gedacht du wärst offline, da das ding da rot war verwirrt

22.01.2008, 14:45

Egon

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Vielen Dank an beide.

Und, wenn ich's mir erlauben darf: Ist die Dimension jeweils korrekt angegeben?

22.01.2008, 15:07

tmo

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die anzahl der komponenten ist jeweils richtig.

jedoch sind die lösungen an sich noch nicht richtig. bei der 2ten aufgabe ist der homogone teil falsch und bei der 3ten aufgabe ist der inhomogene teil falsch.

wobei es bei der 3ten aufgabe stark nach einem tippfehler aussieht.

22.01.2008, 15:29

Egon

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Au ja, die zweite müsste sein:

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und die dritte

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\6\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\7\\1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe bei der dritten eine spezielle Lösung für das homogene statt für das inhomogene ausgerechnet.

22.01.2008, 15:34

tmo

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die lösung zur dritten aufgabe stimmt immer noch nicht.

du kannst deine lösung übrigens selbst durch eine probe verifizieren.

22.01.2008, 15:59

Egon

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Das war in der Tat in unüberlegter Schnellschuss; da hätte ich lieber kurz nachgerechnet.

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\7\\1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Nochmal nachrechnen.... ja, jetzt stimmen alle vier Gleichungen.

22.01.2008, 16:06

tmo

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Zitat:

Original von tmo
du kannst deine lösung übrigens selbst durch eine probe verifizieren.

(-1,-4,7,0) löst die gleichungen nicht.

22.01.2008, 16:10

tigerbine

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Zitat:

Original von tmo
edit: hab gedacht du wärst offline, da das ding da rot war verwirrt

No problem. Augenzwinkern

22.01.2008, 16:13

Egon

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Das darf ja nich wahr sein.... ich habe mit t=1 kontrolliert und da war es richtig; deshalb war ich überzeugt, dass es jetzt stimmt.

Dabei wäre (-5,-4,17,1) der eigentliche Ausgangspunkt. Mittlerweile habe ich aber auf meinen Blättern so ein Chaos veranstaltet, dass ich nicht mehr nachvollziehen kann, wie ich auf den anderen Vektor kam.

Wahrscheinlich (hoffentlich) war es Mangel an Konzentration

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