Kurve in Parameterform

22.01.2008, 14:02

atze

Kurve in Parameterform

So, da bin ich wieder. Kaum geholfen, so kommt schon das nächste Problem.

Kurve in Parameterform.

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) =4 \begin{pmatrix} 2cos(t) + cos2(t) \\ 2 sin (t) - sin2(t) \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Ortsvektor für $\begin{eqnarray*} t= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < t < \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

In einer Übungsaufgabe habe ich eine richtig lösen können. Die war auch - wie ich finde - einfacher.

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t})= \frac{\pi}{2t}*\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < t <\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Da habe ich für t $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt => cos t =0 usw.

Komme aber bei der obigen nicht weiter!

22.01.2008, 14:07

system-agent

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Was willst du denn überhaupt machen?

22.01.2008, 14:24

atze

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a) Ortsvektor für $\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

b) Tangentialvektor allgemein

c) Tangentialvektor für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

danach kommen länge, schnittwinkel usw.

ich denke aber mal, wenn ich den Anfang habe komme ich weiter!

22.01.2008, 16:59

system-agent

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zu a)
Einfach einsetzen

zu b)
Die Ableitung einer solchen Funktion bekommt man durch komponentenweises ableiten

zu c)
Einsetzen in die abgeleitete Funktion

22.01.2008, 17:24

atze

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Kommt für den Ortsvektor dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus?

Kann das sein das nach der 4 noch nen pi oder t hin muss?

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) =4 \begin{pmatrix} 2cos(t) + cos2(t) \\ 2 sin (t) - sin2(t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weil in der obigen Aufgabe ist es ja schön:

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t})= \frac{\pi}{2t}*\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ortsvektor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tangentialvektor allgemein:

Da kann ich ja schon die Produktregel anwenden.
Ich komme da auf $\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) =-\frac{2\pi }{2t^2} * \begin{pmatrix} cos t \\ sin t \end{pmatrix} + \frac{\pi}{2t}* \begin{pmatrix} -sint \\ cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 16:33

atze

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Ist meine Rechnung richtig?

Und ist immer das verfahren von system-agent anzuwenden?

Zitat:

zu a)Einfach einsetzen

zu b)
Die Ableitung einer solchen Funktion bekommt man durch komponentenweises ableiten

zu c)
Einsetzen in die abgeleitete Funktion

23.01.2008, 19:44

system-agent

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Ich habe es nicht nachgerechnet, aber das "Verfahren" ist die Vorgehensweise das zu lösen....

30.01.2008, 23:43

atze

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zu 1.)

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) = 4\begin{pmatrix} 2cos \frac{\pi}{4}+2cos \frac{\pi}{4} \\ 2sin\frac{\pi}{4}-2sin\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) = 4\begin{pmatrix} \sqrt{2} + \sqrt{2} \\ \sqrt{2}-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(\vec{t}) = \begin{pmatrix} 8\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

02.02.2008, 14:12

atze

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Kann mir kurz einer ein Feedback geben?

Nächste Woche sind Klausuren

02.02.2008, 15:13

mYthos

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Stimmt so gleich anfangs nicht.

Für $\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ist

cos(2t) = 0
sin(2t) = 1

mY+

13.03.2008, 16:55

atze

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So darf die Klausur noch einmal schreiben.

Bin jetzt wieder am verstehen lernen.

Also:
$\begin{eqnarray*} r(\frac{\pi}{4} ) =4*\begin{pmatrix} 2 cos (\frac{\pi}{4})+cos \frac{2\pi}{4} \\ 2 sin (\frac{\pi}{4})-sin \frac{2\pi}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(\frac{\pi}{4} ) =4\begin{pmatrix} 2 \frac{\sqrt{2} }{2}+ 0 \\ 2 \frac{\sqrt{2} }{2}-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(\frac{\pi}{4} ) =4\begin{pmatrix} \sqrt{2}+ 0 \\ \sqrt{2} -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht es hiermit aus? Wenn es wieder falsch ist, würde ich mich gerne über einen Ansatz - und mehr wie: "einfach einsetzen" - sehr freuen.

thx

13.03.2008, 23:17

mYthos

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Ist ok. Die Null kannst allenfalls weglassen.

mY+

21.03.2008, 23:01

atze

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Hallo mYthos,
habe noch eine kleine Frage:

Ich versuche jetzt den Tangentialvektor zu bestimmen.

Das mache ich indem ich die mit der Produktregel agiere.

Ich komme dann auf $\begin{eqnarray*} \dot{\vec r}(t)=\begin{pmatrix} -8sin(t)+4cos(2) \\ 8cos(t)-4sin(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sieht ja - wie ich finde - soweit schon einmal gut aus.

Wenn ich jetzt aber den Tangentialvektor für $\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ bestimme, bekomme ich schwierigkeiten.

$\begin{eqnarray*} \dot{\vec r}(t)=\begin{pmatrix} -8sin(\frac{\pi}{4})+4cos(2) \\ 8cos(\frac{\pi}{4})-4sin(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{\vec r}(t)=\begin{pmatrix} -4 \sqrt{2}+4cos(2) \\ 4\sqrt{2}-4sin(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich das so stehen lassen?

22.03.2008, 02:06

bishop

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wenn die zahlenwerte stimmen (was ich jetz nicht nachgeschaut habe), dann kannst du das so lassen. Großartig vereinfachen geht da wohl nichts mehr.
Was ich dir empfehlen würde, ist hier statt einem $\begin{eqnarray*} r(t) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} r(t_0); \text{mit}~t_0=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ zu schreiben
Der Grund ist, dass du einmal t als Laufvariable hast, und dann aber das t fix nimmst. Dahinter ist die Verwechslungsgefahr, dass in deiner Ableitung gar kein t mehr vorkommt, du aber trotzdem $\begin{eqnarray*} r(\dot{t})=... \end{eqnarray*}$ schreibst. Der Vektor, den du ausgerechnet hast gilt nur für ein bestimmtes t.

Außerdem ist der Vektorpfeil doch falsch. Dein t ist ein Skalar.

22.03.2008, 10:04

atze

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Zitat:

Original von bishop
Was ich dir empfehlen würde, ist hier statt einem $\begin{eqnarray*} r(t) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} r(t_0); \text{mit}~t_0=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ zu schreiben
Der Grund ist, dass du einmal t als Laufvariable hast, und dann aber das t fix nimmst. Dahinter ist die Verwechslungsgefahr, dass in deiner Ableitung gar kein t mehr vorkommt, du aber trotzdem $\begin{eqnarray*} r(\dot{t})=... \end{eqnarray*}$ schreibst. Der Vektor, den du ausgerechnet hast gilt nur für ein bestimmtes t.

Okay, werde dann mal in den Aufgaben weiter machen. Vielleicht sehe ich ja hinterher, ob es richtig ist oder nicht.

Scho ma danke
Schönes Osterwochenende

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