Charakteristisches Polynom / Minimalpolynom

22.01.2008, 21:16

pi_mal_Daumen

Charakteristisches Polynom / Minimalpolynom

Hallo ihr! Ich habe da eine Aufgabe, bei der ich nicht gaanz weiter weiß.

Bestimme das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom folgender Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soo. Also ich glaube, dass ich beim charakteristischen Polynom es richtig gemacht habe. Ich habe $\begin{eqnarray*} \det(A - \lambda E) \end{eqnarray*}$ errechnet, was ja das char. Polynom dann ist. Dort habe ich dann folgendes raus:

Für $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \\ \det( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}) && = \det \begin{pmatrix} - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{pmatrix}\\ & & = (- \lambda)(- \lambda) - 1 \cdot 1\\ && = -\lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \\ \det(\begin{pmatrix} 1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}) && = \det(\begin{pmatrix} 1-\lambda & c-1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} ) \\ && = (1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)\\ &&= (\lambda^2 - 2\lambda + 1) (1-\lambda)\\ &&= -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1 \end{eqnarray*}$

Ist das wohl so richtig? Stimmt das dann auch, dass die Eigenwerte bei der ersten Matrix 1 und -1 sind? Bei der anderen müsste ich wohl ne Nullstelle erraten und dann Polynomdivision machen, und danach weiterschauen, oder?

Wo ich nun noch Hilfe bräuchste: Wie komme ich denn dann an das Minimalpolynom? Das habe ich noch nie gemacht. Könnte mir da jemand Hilfe geben, damit ich des lösen kann?

Danke! Wink

22.01.2008, 21:35

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \\ \det( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}) && = \det \begin{pmatrix} - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{pmatrix}\\ & & = (- \lambda)(- \lambda) - 1 \cdot 1\\ && = -\lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Kleiner Vorzeichenfehler am Schluss... $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$ muss es natürlich heißen Augenzwinkern

Zitat:

Stimmt das dann auch, dass die Eigenwerte bei der ersten Matrix 1 und -1 sind?

Ja.

Zitat:

Bei der anderen müsste ich wohl ne Nullstelle erraten und dann Polynomdivision machen, und danach weiterschauen, oder?

Eigenwerte sind ja die Nullstellen des char. Polynoms....und diese kannst du doch in der bereits vorliegenden Faktorisierung bestens ablesen smile

Zitat:

Wie komme ich denn dann an das Minimalpolynom?

Da bin ich mir nicht ganz sicher....denke jedoch dass du dir überlegen musst mit welchem Polynom minimalen Grades die jeweiligen Eigenwerte darstellbar wären.

Gruß Björn

22.01.2008, 21:46

pi_mal_Daumen

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Ups... natürlich! Es sollte $\begin{eqnarray*} \lambda^2-1 \end{eqnarray*}$ heissen! Danke für die Korrektur Freude

Und zu den Eigenwerten von der 2. Matrix: Stimmt. War ich wohl ein bisschen blind. Es kann ja eigentlich nur 1 in Frage kommen, wenn ich das so richtig sehe.

Aber mit dem Minimalpolynom steht ich leider noch aufm Schlauch. verwirrt

22.01.2008, 23:15

pi_mal_Daumen

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Ich sehe gerade, dass ich das wohl eher doch bei Hochschulalgebra hätte posten sollen. Wenn ein Mod das sieht, dann könnte er das ja gerne tun!

Ich habe jetzt noch ein wenig gelesen. Das Minimalpolynom ist nun also das Polynom, welches die gleichen Nullstellen, aber den kleinsten Grad hat, richtig?

Sofern meine Charakteristischen Polynome richtig sind (kann man das irgendwie kontrollieren?), dann müsste das doch eigentlich folgendes heissen:

Bei der ersten Matrix ist das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} \lambda - 1 \end{eqnarray*}$ nicht mehr $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nicht mehr Eigenwerte/Nullstellen sind. Kann man das so sagen? Muss ich das noch irgendwie rechnerisch nachweisen?

Wie kann ich denn das ganze für die 2. Matrix sagen? Ich weiss gerade nicht, was die möglichen Kandidaten wären.

22.01.2008, 23:57

Bjoern1982

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Wie gesagt bin ich mir beim Minimalpolynom nicht so sicher...würde aber so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$ ist das Minimalpolynom für die Eigenwerte 1 und -1 weil es kein lineares Polynom geben kann, welches 2 ungleiche Nullstellen darstellen könnte

Für die andere Matrix ist dann wohl $\begin{eqnarray*} 1- \lambda \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom, weil es ja nur einen einzigen Eigenwert gibt und dieser somit auch "linear dargestellt" werden kann.

Gruß Björn

23.01.2008, 16:49

pi_mal_Daumen

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So.. jetzt nochmal zu den Minimalpolynomen. Ich halte nochmal die char. Polynome fest:

a) Das char. Pol. von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 1 \end{eqnarray*}$

b) Das char. Pol von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda) = -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1 \end{eqnarray*}$

Für das Minimalpolynom bei a) habe ich nun so argumentiert:
Wenn ich für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ im möglichen Minimalpolynom die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetze, so muss die Nullmatrix rauskommen.

Für den möglichen Kandidaten $\begin{eqnarray*} \lambda -1 \end{eqnarray*}$ heisst das:

$\begin{eqnarray*} (A-1E) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \lambda^2 -1 \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass ich so richtig argumentiert habe.

Bei b) will ich das nun analog machen, stosse aber auf ein kleines Problem:

Wenn ich jetzt mein mögliches Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} 1-\lambda \end{eqnarray*}$ nehme (was es ja auch anschaulich eigentlich sein muss), so bekomme ich beim EInsetzen folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (1E - A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das gilt ja jetzt nur, wenn $\begin{eqnarray*} c = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Kann ich das denn einfach so annehmen, weil oben steht "für ein festes $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ " ?

Ich hoffe, dass das ansonsten so weit richtig ist.

23.01.2008, 20:30

WebFritzi

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Bei (a) musst du noch den Kandidaten lambda + 1 untersuchen.

Bei (b) musst du eine Fallunterscheidung fuer c machen. Im falle c = 1 hast du ja raus, dass das Minimalpolynom lambda - 1 ist.

23.01.2008, 20:48

pi_mal_Daumen

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Hey WebFritzi!

Wieso muss ich denn auch $\begin{eqnarray*} \lambda + 1 \end{eqnarray*}$ untersuchen? Muss ich nicht nur den verringerten Grad des char. Polynoms berücksichtigen?

23.01.2008, 21:28

WebFritzi

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Eigentlich hättest du im Fall (a) gar nichts mehr untersuchen müssen, denn dein charakt. Pol. lautet

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = \lambda^2 - 1 = (\lambda - 1)(\lambda + 1). \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass A die beiden Eigenwerte 1 und -1 hat. Es kann daher gar nicht sein, dass A - 1 = 0 ist. Dann wäre A = E. Wie soll es da einen Eigenvektor zum Eigenwert -1 geben??? Aber WENN du schon untersuchst, ob A - 1 = 0 gilt, dann musst du auch auf den anderen Linearfaktor $\begin{eqnarray*} \lambda + 1 \end{eqnarray*}$ untersuchen, d.h., ob A + 1 = 0 gilt.

23.01.2008, 21:32

pi_mal_Daumen

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Aaaahhh... naklaro Forum Kloppe

Danke!!

Jetzt hab ich nur noch ne letzte Unsericherheit bei b)

Also für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ habe ich das ja oben gezeigt.
Kann es denn eigentich für $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ ein anderes Minimalpolynom als $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 \end{eqnarray*}$ geben?

23.01.2008, 21:43

WebFritzi

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Setz doch mal A in $\begin{eqnarray*} (1 - \lambda)^2 \end{eqnarray*}$ ein und schau, ob es ein c gibt, so dass das Null ist. Ein bisschen stellst du dich aber auch an... Augenzwinkern

24.01.2008, 00:28

pi_mal_Daumen

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Jepp! Das kann man so sagen, dass ich mich heute (bzw. gestern) total blöd anstelle! Sorry! Tränen

Wenn ich nun also A in $\begin{eqnarray*} (1 - \lambda)^2 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann kommt da ja folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \\ (\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix})^2 && = \begin{pmatrix} 0 & -c+1 & 0 \\ 0 & 0 & -c^2 + 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -c+1 & 0 \\ 0 & 0 & -c^2 + 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\ &&= \begin{pmatrix} 0 & 0 & (-c+1)(-c^2+1) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Heisst das nun, dass dies das Minimalpolynom für $\begin{eqnarray*} c^3-c^2-c+1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist? Das wäre ja nun für $\begin{eqnarray*} c = -1 \end{eqnarray*}$ der Fall. Ich glaube irgendwas habe ich wirklich falsch oder nicht verstanden.

Aber ich danke dir auf jedenfall schonmal herzlich für dein bzw. euern Support!

24.01.2008, 12:09

WebFritzi

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Deine errechnete Matrix ist Null in den Fällen c = 1 und c = -1. Den Fall c = 1 hatten wir ja schon abgehakt. Dann ist 1 - A = 0, und es ist kein Wunder, dass dann auch (1 - A)² = 0 gilt. Nun hast du festgestellt, dass (1 - A)² auch im Fall c = -1 Null ist. Was ist also das Minimalpolynom im Fall c = -1?

24.01.2008, 13:33

pi_mal_Daumen

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Also ist mein Minimalpolynom für den Fall

c=1: $\begin{eqnarray*} (1-\lambda) \end{eqnarray*}$
c=-1: $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)^2 \end{eqnarray*}$
sonst: $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)^3 \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nun nicht ganz irre!

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