auf konvergenz untersuchen

22.01.2008, 22:48

moonsymmetry

auf konvergenz untersuchen

hallo wie untersuchman folgende reihe auf konvergenz?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n-1}{5^n} \end{eqnarray*}$

wie fängt man da an?

22.01.2008, 22:49

system-agent

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Was für Konvergenzkriterien kennst du denn?
Eines davon führt zum Ziel !

22.01.2008, 22:51

moonsymmetry

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re
hmm da fällt mir mal das quotientenkriterium ein?

22.01.2008, 22:52

system-agent

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Na dann versuchs das mal...

22.01.2008, 22:57

moonsymmetry

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re
hmmmmmm

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{\frac{(n+1)-1}{5^{n+1}}}{\frac{(n-1)}{5^n}} \mid \end{eqnarray*}$

??? is wahrscheilnlich komplett falsch oder? unglücklich

ich weiß einfach nicht was damit gemeint is....

22.01.2008, 22:59

Romaxx

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RE: re
Hallo,

versuche es weiter umzuformen, sodass der Grenzwert ersichtlich wird.
Ansonsten geht das Wurzelkriterium recht fix.

Für ein festes $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \leq q \end{eqnarray*}$ ab einem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß

22.01.2008, 23:04

moonsymmetry

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re
hmmmmm

22.01.2008, 23:08

system-agent

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Ansonsten sag einfach WAS du nicht verstehst, dann kann man dir helfen smile

22.01.2008, 23:11

moonsymmetry

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re
ja.. wenn ich das mit dem quotientenkriterium lösen will.....

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{\frac{(n+1)-1}{5^{n+1}}}{\frac{(n-1)}{5^n}} \mid \end{eqnarray*}$

dann bin ich mal da..inwiefern muss ich das umformen?
ich kapier das prinzip net von dem ganzem ... was ist das q was muss gelten ? ......

22.01.2008, 23:19

Romaxx

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Du kannst die Aussage doch noch weiter kürzen...
Ist diese Aussage, wenn man den Grenzwert bildet, kleiner gleich einem festen Wert, welcher kleiner ist als 1, so ist die Reihe absolut konvergent.

Gruß

22.01.2008, 23:21

system-agent

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Das Quotientenkriterium sagt:
Wenn du eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ hast, dann bilde den Quotienten
$\begin{eqnarray*} Q(k)=\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \end{eqnarray*}$ .
Gilt dann auch noch, dass $\begin{eqnarray*} Q\leq q \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Reihe absolut konvergent.

Das heisst also, du musst den Quotienten $\begin{eqnarray*} Q(k) \end{eqnarray*}$ bilden. Wenn man für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ also eine Zahl $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ finden kann, so dass
$\begin{eqnarray*} Q(k)\leq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert die Reihe. Meist untersucht man also $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}Q(k) \end{eqnarray*}$ um so ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ zu finden...

@Roman:
Übernimm du das smile

22.01.2008, 23:29

moonsymmetry

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ok
okay.. das prinzip versteh ich nun...
also
ich kürze weiter...

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{\frac{n}{5^{n+1}}}{\frac{(n-1)}{5^n}} \mid \end{eqnarray*}$

doppelbruch auflösen? ..... -->

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{5^{n+1}}{5} \mid \end{eqnarray*}$

ja.. hmmmmm

22.01.2008, 23:37

Romaxx

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Wie kommst du denn auf das?

Einen Bruch durch einem Bruch teilen ist gleichbedeutend mit der Aussage, den zu teilenden Bruch mit dem Kehrwert des teilenden Bruches mal zu nehmen.

Also $\begin{eqnarray*} |\frac{n}{5^{n+1}} \frac{5^n}{n-1} | \end{eqnarray*}$

Gruß

22.01.2008, 23:46

moonsymmetry

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re
huiui....

na dann....

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{5^{n+1}} \frac{5^n}{n-1} | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | \frac{5^{n+1}}{(5^{n+1})(n-1)} | \end{eqnarray*}$
kürzt sich

$\begin{eqnarray*} | \frac {1}{(n-1)}| \end{eqnarray*}$
stimmt das dann?

22.01.2008, 23:48

Mathespezialschüler

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Warum sollte $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ sein???

22.01.2008, 23:53

Romaxx

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RE: re
Nein und zwar hast du

$\begin{eqnarray*} n5^n = 5^{n+1} \end{eqnarray*}$ gemacht, was falsch ist.

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{5^{n+1}} \frac{5^n}{n-1} | \end{eqnarray*}$ da lässt sich doch $\begin{eqnarray*} 5^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 5^{n+1} \end{eqnarray*}$ kürzen sodass nur noch $\begin{eqnarray*} 5^{1} \end{eqnarray*}$ dran steht.

Gruß

22.01.2008, 23:59

moonsymmetry

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...
ach ich bin schon komplett verwirrt ..

ich komm dann auf $\begin{eqnarray*} \frac {n}{5(n-1)} \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 00:01

Romaxx

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Re: ...
richtig und jetzt musst du noch den zähler von der variablen n befreien.
klammere im nenner einfach n aus und schau was dann passiert.

gruß

23.01.2008, 00:06

moonsymmetry

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...
ja..

$\begin{eqnarray*} \frac {n}{5n - 5} = \frac{1}{4n -5} \end{eqnarray*}$
jetzt geht dann aber nix mehr...

23.01.2008, 00:09

Romaxx

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Re: ...
das war nicht ausklammern was du gemacht hast...

$\begin{eqnarray*} 5n -5 \end{eqnarray*}$
n ausgeklammert ergibt
$\begin{eqnarray*} n( 5-\frac{5}{n}) \end{eqnarray*}$

gruß

23.01.2008, 00:15

moonsymmetry

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...
mhhhh...

dann hab ich letztenendes $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*(5 - \frac {5}{n})} \end{eqnarray*}$ da stehn..

n weg....

ergibt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{5- \frac {5}{n}} \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 00:17

Romaxx

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Re: ...
ja und jetzt lass n gegen unendlich gehen. was passiert?

gruß

23.01.2008, 00:22

moonsymmetry

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$\begin{eqnarray*} \frac {1}{5} \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

ohmann... das war ne schwere geburt... Big Laugh

herzlichen dank für deine geduld

23.01.2008, 00:25

Romaxx

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korrekt, somit ist die reihe absolut konvergent Freude

gruß

23.01.2008, 00:28

moonsymmetry

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...
noch ne frage... kann ich das quotientenkriterium immer verwenden?

[edit] hab mich verklickt und versehentlich ein neues thema gemacht.. ?? ups^^

ModEdit: Kein Problem: *** zusammengefügt *** mY+

23.01.2008, 08:58

klarsoweit

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Re: ...

Zitat:

Original von moonsymmetry
noch ne frage... kann ich das quotientenkriterium immer verwenden?

Verwenden kann man es immer. Ob man damit zum Ziel kommt, ist eine andere Frage. Siehe auch
Reihe Konvergiert?

Augenzwinkern

23.01.2008, 09:07

system-agent

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Re: ...

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moonsymmetry
noch ne frage... kann ich das quotientenkriterium immer verwenden?

Verwenden kann man es immer.

Aber nur, wenn man $\begin{eqnarray*} a_k\neq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hat Augenzwinkern

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