komplexe Zahlen

23.01.2008, 10:53

coro1985

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komplexe Zahlen

Hallo ihr lieben,

hab mal eine Frage in der Klausur wurde folgende Komplexe Zahl gegebn es sollten alle Lösungen berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} z^4 :8 + i \sqrt3=-1 \end{eqnarray*}$ kann ich jetzt mit *8 multiplizieren

$\begin{eqnarray*} Z^4 + i8\sqrt3 =-8 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} -i8\sqrt3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^4=-8-i8\sqrt3 \end{eqnarray*}$

und jetzt in expotenialform umformen und die Wurzel berechen??

23.01.2008, 11:01

klarsoweit

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RE: komplexe Zahlen
So hätte ich es auch gemacht. smile

smile

23.01.2008, 11:08

coro1985

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ok hab es mal in die expotenzialform gebracht

$\begin{eqnarray*} 16e^i60° \end{eqnarray*}$

dann sind:

k=0;1;2;3 und n=4

23.01.2008, 11:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von coro1985
$\begin{eqnarray*} 16e^i60° \end{eqnarray*}$

Also im Gradmaß würde ich nicht rechnen. 60° entspricht pi/3.

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \pi/3} = cos(\pi/3) + i \cdot sin(\pi/3) = \frac 1 2 + \frac 1 2 \sqrt 3 \cdot i \end{eqnarray*}$ , was nicht so ganz deiner komplexen Zahl paßt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2008, 11:35

coro1985

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oh ja

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 16e^i210° \end{eqnarray*}$ muß ja dwen Quatranten beachten.

warum würdes du nicht in Gradmaß rechnen?

$\begin{eqnarray*} 16e^i7/6pi \end{eqnarray*}$

oder??

23.01.2008, 11:56

klarsoweit

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210° bzw. $\begin{eqnarray*} \frac 7 6 \pi \end{eqnarray*}$ passen auch nicht.

Üblicherweise werden Winkel im Bogenmaß angegeben. Das habe ich mir dann auch so angewöhnt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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23.01.2008, 12:12

coro1985

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dann habich jetzt den totalen klemmer,

$\begin{eqnarray*} -8-i8\sqrt3 \end{eqnarray*}$ liegt doch im 3 Quatranten also zwischen 180° und 270°

$\begin{eqnarray*} tan\alpha = b:a \end{eqnarray*}$ =1,732050

$\begin{eqnarray*} tan\alpha^-1 = 60° \end{eqnarray*}$

270° - 60° = 210°

oder hab ich einen denkfehler???

23.01.2008, 12:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von coro1985
270° - 60° = 210°

Ich weiß nicht was und warum du so rechnest. Auf meinem Taschenrechner ist $\begin{eqnarray*} tan(\frac 7 6 \pi) = 0,577 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2008, 12:31

coro1985

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das problem war das mein taschenrechner auf DEG eingestellt war und nicht auf RAD

woher weiß ich wann ich Deg; RAD oder GRA nehmen muß???

und wie komme ich jetzt auf den richtigen Winkel bei der Umstellung von aritmetischer in Expotenzialform???

23.01.2008, 12:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von coro1985
woher weiß ich wann ich Deg; RAD oder GRA nehmen muß???

Deg = Gradmaß
Rad = Bogenmaß

Zitat:

Original von coro1985
und wie komme ich jetzt auf den richtigen Winkel bei der Umstellung von aritmetischer in Expotenzialform???

Überlege dir welchen Winkel (ggf. Hilfswinkel) du bestimmen willst und dann ein bißchen Trigonometrie.

23.01.2008, 13:11

coro1985

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in der göhler formelsammlung steht doch

tan fi = b:a

fi = arctan b:a --> ist doch tan fi^-1 b:a oder bin jetzt vollig verwirrt.

23.01.2008, 13:19

klarsoweit

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Das gilt nur für den 1. Quadranten. Du bist aber im 3. Quadranten. Also mußt du überlegen, welchen Winkel du mit dieser Formel berechnest und welchen Winkel du zu dem Ergebnis noch addieren mußt.

23.01.2008, 13:41

coro1985

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also

smile

da x<0 und y<0 --> - pi

fi = arctan b:a -pi ??

fi = arctan $\begin{eqnarray*} (-i8\sqrt3: -8)- pi \end{eqnarray*}$ =1,732050808 -Pi = -1,409541846

fi = -54,64° oder in bogenmaß -0.95376

und jetzt noch 270° -54,64 = 215,36° der in bogenmaß 2.187832 ??

23.01.2008, 13:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von coro1985
fi = arctan b:a -pi ??

Wenn man einen Winkel zwischen 0 und 2pi erhalten will, sollte man pi addieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von coro1985
fi = arctan $\begin{eqnarray*} (-i8\sqrt3: -8)- pi \end{eqnarray*}$ =1,732050808 -Pi = -1,409541846

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(-8\sqrt3: (-8)) + \pi = \underbrace{1,0472}_{= \pi/3} + \pi = \frac 4 3 \pi \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du dir doch mal einen neuen Taschenrechner leisten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2008, 14:08

coro1985

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erstmal danke für deine geduld...

$\begin{eqnarray*} \phi = 78,40° \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 14:15

klarsoweit

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Und der nächste mißglückte Versuch. Ich meine, wir suchen einen Winkel im 3. Quadranten. Und wie der im Bogenmaß aussieht, hatte ich dir ja schon vorgerechnet.

23.01.2008, 15:50

coro1985

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dann sind das

$\begin{eqnarray*} 270° - arctan\frac 4 3 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 270° - 76,57° \end{eqnarray*}$

= 193.43°???

23.01.2008, 16:07

klarsoweit

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Was soll denn das? verwirrt

verwirrt

So wird der Winkel berechnet:

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(-8\sqrt3: (-8)) + \pi = \underbrace{1,0472}_{= \pi/3} + \pi = \frac 4 3 \pi \end{eqnarray*}$

Fertig. Aus. Ende.

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