Erwartungswert+Varianz Umformung unklar

23.01.2008, 13:03

Corn

Erwartungswert+Varianz Umformung unklar

Hallo.
Ich gehe hier zu einer Übungsaufgabe die Lösung durch. Allerdings gibts ein paar Probleme bei der Umformung

Die Aufgabe lautet erst einmal
$\begin{eqnarray*} P_X = \pi(\lambda) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} EX = \lambda \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} EX^2 \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie damit, dass $\begin{eqnarray*} V(x) = \lambda \end{eqnarray*}$ .
Verwenden Sie $\begin{eqnarray*} V(X) = E(X-EX)^2 = EX^2 - (EX)^2 \end{eqnarray*}$

Und nun die Lösung zu
a)

$\begin{eqnarray*} EX = \sum^\infty_{j=0} j P(X=j) = \sum_{j=0}^{\infty} j e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!} \end{eqnarray*}$
Bis jetzt ist es nur Definition, aber wie kommt man zum nächsten Schritt? Wo kommt das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als Faktor her und warum verändert sich da das "e" nicht?
$\begin{eqnarray*} \lambda* (\sum_{j=1}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{(j-1)!}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lambda \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda} \lambda^j / j! = \lambda \end{eqnarray*}$

Zu Aufgabe b

$\begin{eqnarray*} V(X) = E(X-EX)^2 = E(X^2-"EXX+(EX)^2) \end{eqnarray*}$

Das obige ist ja nur mit Hilfe des Binoms ausmultipliziert, aber was kommt jetzt

$\begin{eqnarray*} 2) = EX^2 -2EXEX + (EX)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3) = EX^2 -(EX)^2 \end{eqnarray*}$

2) und 3) sollen die Zeilen sein

2) würde ich verstehen als $\begin{eqnarray*} EX^2 - 2EXEX + E (EX)^2 \end{eqnarray*}$

Warum fällt das E bei $\begin{eqnarray*} E(EX)^2 \end{eqnarray*}$ weg. Oder wieso kommt man von 1 auf 2?

Danke im Voraus
Corn

23.01.2008, 13:42

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Zitat:

Original von Corn
Bis jetzt ist es nur Definition, aber wie kommt man zum nächsten Schritt? Wo kommt das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als Faktor her und warum verändert sich da das "e" nicht?
$\begin{eqnarray*} \lambda* (\sum_{j=1}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{(j-1)!}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lambda \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda} \lambda^j / j! = \lambda \end{eqnarray*}$

Kein Wunder, die Formel in der ersten Zeile ist ja auch falsch: Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} EX = \sum_{j=0}^{\infty} j e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!} \end{eqnarray*}$

wird nämlich erstmal der Summand für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ weggelassen, denn der ist sowieso gleich Null. Für $\begin{eqnarray*} j\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man nun kürzen $\begin{eqnarray*} j\cdot \frac{1}{j!} = \frac{j}{j\cdot (j-1)!} = \frac{1}{(j-1)!} \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} EX = \sum_{j=1}^{\infty} j e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda \cdot \sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{j-1}}{(j-1)!} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt erfolgt lediglich eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} k=j-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} EX = \lambda \cdot \sum_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Corn
Warum fällt das E bei $\begin{eqnarray*} E(EX)^2 \end{eqnarray*}$ weg.

$\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl, d.h., nichtzufällig, gleiches gilt natürlich für deren Quadrat. Und der Erwartungswert einer Zahl ist die Zahl selbst.

23.01.2008, 16:33

Corn

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Moin Arthur Dent

Das hast du ganz toll erklärt. Vielen Dank

19.07.2009, 12:04

variar

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Exex
und was passiert mit:
$\begin{eqnarray*} E(-2*X(E(X))) \end{eqnarray*}$

beim ausmultiplizieren? (vom Vorposter als $\begin{eqnarray*} -2EXEX \end{eqnarray*}$ geschrieben)

danke.

19.07.2009, 12:28

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Auch nach 18 Monaten gilt unverändert:

$\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ ist eine reelle, nichtzufällige Zahl und kann als solcher Faktor aus dem Erwartungswert herausgezogen werden:

$\begin{eqnarray*} E(a\cdot X) = a\cdot E(X) \end{eqnarray*}$ ,

hier angewandt auf $\begin{eqnarray*} a=-2\cdot E(X) \end{eqnarray*}$ .

19.07.2009, 14:08

variar

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aaah. alles klar, danke.

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