vollständige Induktion die x-te

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Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion die x-te
Hallo,
vieleicht kann mir ja hier irgendjemand meinen Denkfehler bzw. fehlenden Schritt verständlich erklären...

Behauptung:



IA: (n=1)

=>

=> =>


IS: (n -> n+1)



Nun kommt meine Verständnislücke, bisher dachte ich dass man nun die obere Grenze der Summe um 1 verringern muss, so dass die Summe wieder die Form wie im Induktionsanfang hat und das so abgespaltene Glied wieder dahinter schreibt, also hier 2 Glieder - in etwa so:



Es wird also das 2 mal (n+1)te Glied zur Ausgangssumme hinzuaddiert

Und weil im IA bewiesen wurde dass korrekt ist, kann man nun schreiben:



Leider kann das nicht stimmen...
Ich hab schon alles mögliche versucht, zB. nur ein Glied addiert aber das passt auch nicht...

wie sieht das oder die Glieder der Summe aus die hier gesucht sind? verwirrt
Fakt ist doch dass das oder die Glieder immer 1 ergeben müssen da sie zu n hinzuaddiert werden und auf der rechten Seite n+1 steht, oder täusche mich mich da schon wieder?
Tom
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion die x-te
Zitat:
Original von Tommy1169


Nun kommt meine Verständnislücke, bisher dachte ich dass man nun die obere Grenze der Summe um 1 verringern muss, so dass die Summe wieder die Form wie im Induktionsanfang hat und das so abgespaltene Glied wieder dahinter schreibt, also hier 2 Glieder - in etwa so:



Das ist in dieser Form falsch. Überlege dir den Wert der Indizes zu den letzten beiden Summanden der Summe .
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube mein Problem an dieser Aufgabe ist die 2 in der oberen Grenze der Summe.
Wenn ich nicht alles falsch verstanden habe, sind doch die letzten Glieder folgender Beispiel Summen:

=> das n

=> das (n+1)

=> das 2n

Kommt das so hin? Kann aber bei der oberen Grenze mit 2n eigentlich nicht sein...
Ich hab keine Ahnung, würde es aber gerne verstehen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ok. Und was ist nun mit 2(n+1) als oberer Grenze?
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

=> das 2(n+1)

oder

=> das (2n+2)

soweit ok?
tobsennn Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einmal als obere Grenze dann hast Du als neue obere Grenze Wieviele Summanden sind nun hinzugekommen?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tommy1169
=> das (2n+2)

soweit ok?

Ja. Wie sieht nun der vorletzte bzw. der drittletzte Summand aus?
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »



=> die drei letzten Summanden

hoffe ich...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion die x-te
Ja, genau. Jetzt gehen wir wieder zu dieser Summe zurück:



Wie sehen da die letzten beiden bzw. drei Summanden aus?
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm naja,
durch liegt ja eine alternierende Reihe vor, das heisst mit steigendem Laufindex wird jedes Folgeglied abwechselnd positiv und negativ.

Also für den alternierenden Teil:



Und nun versuch ichs mal für die Ursprungssumme:



wenn das bis hierhin soweit richtig ist, was ich sehr hoffe, dann müsste ich doch für den Induktionsschluß die letzten 3 Glieder nehmen?
Also etwa so:



Da die obere Grenze den Faktor 2 beinhaltet, muss ich also die letzten beiden Glieder "abspalten" um wieder auf die Ursprungssumme aus dem Induktionsanfang zu kommen?


editiert nach Einwand von "Klarsoweit"

somit bekomme ich durch ersetzen von mit n:



und nun fehlt noch die Auflösung der linken Seite:

=> egal welchen Wert n annimt, der Audruck ist immer -1
=> egal welchen Wert n annimt, der Audruck ist immer 1

damit ergibt sich:



und damit:



womit der Induktionsschluß auch korrekt ist.

Oha wenn das jetzt stimmt, habt ihr mich tatsächlich dazu gebracht das Ding selbstständig zu lösen mit ein bisschen Anschubsen Eurerseits...

vielen Dank, ich glaub ich werd jetzt öfter nerven hehe...

Grüsse
Tom Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Rechenschritte und Ergebnis stimmen überwiegend. Allerdings solltest du sauberer formulieren und auf korrekte Formeln achten:

Zitat:
Original von Tommy1169
durch liegt ja eine alternierende Reihe vor

Das ist keine Reihe, sondern eine Folge.

Zitat:
Original von Tommy1169
wenn das bis hierhin soweit richtig ist, was ich sehr hoffe, dann müsste ich doch für den Induktionsschluß die letzten 3 Glieder nehmen?
Also etwa so:



Ich weiß jetzt nicht, was du mit "die letzten 3 Glieder nehmen" meinst. Die angegebene Gleichung ist im Induktionsschluß zu zeigen. Aber das war von Anfang klar.

Zitat:
Original von Tommy1169
Da die obere Grenze den Faktor 2 beinhaltet, muss ich also die letzten beiden Glieder "abspalten" um wieder auf die Ursprungssumme aus dem Induktionsanfang zu kommen?



Die Begründung für das Abspalten der letzten beiden Summanden aus hat zwar irgendwas mit dem Faktor 2 zu tun, besser ist aber die Überlegung, daß 2n+2 Summanden hat, hingegen nur aus 2n Summanden besteht. Die erste Summe hat also 2 Summanden mehr und das sind gerade die Summanden zu den Indexwerten i=2n+1 und i=2n+2.

Im übrigen muß es richtig heißen:

Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen

Ah so,
kannst Du mir in wenigen Worten den Unterschied von Reihen und Folgen erläutern, ich denke da haperts noch...

Die letzten 3 Glieder: Naja ich hab mich von Anfang an gefragt wieviele Glieder ich abspalten muss und wie sie aussehen. Durch die obere Grenze von 2(n+1) also 2n+2 im Induktionsschluß, ergeben sich nun so hoffe ich, 2 letzte Glieder nämlich 2n+1 und 2n+2, die wieder hinzugeschrieben werden wenn ich auf die Ursprungssumme zurück will.

Du hattest Recht: ich hatte *(2n+1) und *(2n+2) vergessen, habe es editiert.

Wie schreibt man hier ein Multiplikationszeichenzeichen unter Latex?
Ah ich sehs: Hammer

Tom
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tommy1169
Ah so,
kannst Du mir in wenigen Worten den Unterschied von Reihen und Folgen erläutern, ich denke da haperts noch...

Eine Reihe ist eine spezielle Folge, die dadurch entsteht, daß man die Elemente einer Folge summiert. In Formeln:

Ist (a_n) eine Folge, so wird die zugehörige Reihe (s_n) definiert durch .
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok danke,

ich hätte da noch eine Aufgabe zur vollst. Induktion bei der es sich aber um eine Ungleichung dreht:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:



Ich mache wieder den Induktionsanfang indem ich n=1 setze.
(Frage ist das richtig? Oder sollte ich nicht viel lieber 5 einsetzen, da die Behauptung ja nur alle für n > 4 aufgestellt war?)

Dann erhalte ich was ja korrekt ist.

Nun zum Induktionsschluß (n -> n+1):



Hmmmm ich denke hier kann man auf der linken seite wieder den Exponent um 1 reduzieren und auf der rechten Seite des Relationszeichens ausmultiplizieren



Nun kann ich nur argumentieren, dass die Korrektheit von im Induktionsanfang ja schon gezeigt wurde und die linke Seite mit wachsendem n und dem zusätzlichen Faktor 2, also der durch die Abspaltung hinzugekommenen 2 auf der linken Seite der Ungleichung, ja noch stärker ansteigt als vorher. Da auf der rechten Seite nur ein 2n+1 aufaddiert wird und diese Summanden bei wachsendem n keine grosse rolle spielen (da hier die potenzierten Summanden dominant sind) wird sich an der Behauptung



nichts ändern und sie gilt auch für alle n+1.

Doch das ist zugegebenermaßen eine sehr unmathematische wenn nicht unkorrekte Aussage meinerseits, wie kann man das eindeutig zeigen? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tommy1169
Ich mache wieder den Induktionsanfang indem ich n=1 setze.
(Frage ist das richtig? Oder sollte ich nicht viel lieber 5 einsetzen, da die Behauptung ja nur alle für n > 4 aufgestellt war?)

Genau. Du mußt den Induktionsanfang mit n=5 machen.

Zitat:
Original von Tommy1169

...
Doch das ist zugegebenermaßen eine sehr unmathematische wenn nicht unkorrekte Aussage meinerseits, wie kann man das eindeutig zeigen? verwirrt

In der Tat ist das in dieser Form unsauber. Du willst ja eine Aussage zeigen, die nicht nur für große n (was immer das bedeutet), sondern für alle n > 5 gilt. Und da gibt es sicherlich im Induktionsschritt ein Problem für n <= 4, sonst könnte man den Induktionsanfang ja auch für n=1 machen.

Also bis zu der obigen Ungleichung ist die Rechnung ok. Jetzt solltest du da die Induktionsvoraussetzung einbauen.
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Mann, woher weisst Du das alles.... geschockt

Ok weiter im Text:

Die Induktionsvorraussetzung ist doch das was im Induktionsanfang schon bewiesen wurde oder?

Iv:



Das jetzt einbauen...hmmmm
Ich mein bei einer Gleichung wüsste ich wie, doch ich kann hier nicht einfach sagen: " ersetze ich durch "

Oder mit Umkehrung des Relationszeichens? Ne oder? Ne da stehe ich auf dem Schlauch...sorry verwirrt unglücklich verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der vollständigen Induktion - und das predige ich hier im Forum nicht zum ersten Mal - muß man sich unbedingt klar machen, was man hat und wohin man will.

Also wir haben:

Wir wollen zeigen:

Jetzt nehmen wir davon die linke Seite und formen etwas um:



Für n >= 3 gilt

Jetzt verwende die Abschätzung der rechten Ungleichung und du bist am Ziel. smile
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
Du schreibst das mal eben locker da hin, nur jeden Einzelschritt nachzuvollziehen fällt mir ehrlich gesagt sehr schwer, aber ich versuche es mal...

haben wir.

wollen wir beweisen.

ok soweit, das hatte ich bis dahin ja auch gesehen.

bedeutet das, dass Du sagst "wenn ist, dann muss auch grösser als also sein"

Wenn ja, dann kann ich bis hierher folgen.

Zitat:
Für n >= 3 gilt...

muss es nicht "Für n > 4 " heissen?

Zitat:

wo holst Du das her? Ist das der Teil von den wir noch nicht betrachtet haben? Ich meine da ja ist und wir für das die Betrachtung ja schon gemacht haben.

Das heisst Du betrachtest jetzt die rechte Seite für sich untereinander?
Also dass Du sagst "Ich schaue jetzt nur noch ob der Rest (2n+1) grösser oder kleiner ist als "

Ich verstehe nur nicht warum Du diesen "Rest" durch n geteilt hast um ihn danach wieder mit n zu multiplizieren, oder kommen da Begriffe wie Grenzwerte von Folgen und Nullfolge ins Spiel?
Wenn ich das richtig verstehe, zeigst Du mit , dass n grösser ist als 2 plus einer Nullfolge (1/n) und somit natürlich auch sein muss.


Kann man denn dann sagen "wenn ist und ist (für alle n >4) dann muss auch also letztendlich sein"?

Ich geb mir echt Mühe... Erstaunt2
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tommy1169
Zitat:
Für n >= 3 gilt...

muss es nicht "Für n > 4 " heissen?

Die Ungleichung gilt für n >= 3, erst recht natürlich auch für n > 4.

Zitat:
Original von Tommy1169
Zitat:

wo holst Du das her? Ist das der Teil von den wir noch nicht betrachtet haben? Ich meine da ja ist und wir für das die Betrachtung ja schon gemacht haben.

Das heisst Du betrachtest jetzt die rechte Seite für sich untereinander?
Also dass Du sagst "Ich schaue jetzt nur noch ob der Rest (2n+1) grösser oder kleiner ist als "

So ist es im Prinzip. Ich will ein n² nach unten durch 2n+1 abschätzen. Ich muß also zeigen, daß für n > 4 die Ungleichung n² > 2n + 1 gilt.

Zitat:
Original von Tommy1169
Wenn ich das richtig verstehe, zeigst Du mit , dass n grösser ist als 2 plus einer Nullfolge (1/n) und somit natürlich auch sein muss.

Ob 1/n eine Nullfolge ist oder nicht, ist nicht relevant. Einzig relevant ist, daß folgende Ungleichung gilt:
1/n < 1 ==> 2 + 1/n < 3 und wegen n > 3 ist also auch 2 + 1/n < n

Man hätte auch anders daran gehen können:
n > 3 <==> n² > 3n <==> n² > 2n + n ==> n² > 2n + 1 weil in jedem Fall n > 1 ist.

Zitat:
Original von Tommy1169
Kann man denn dann sagen "wenn ist und ist (für alle n >4) dann muss auch also letztendlich sein"?

Genau das ist die Beweisidee. smile
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das soll man mal eben so sehen.... LOL Hammer

Naja auf jeden Fall hast Du mir sehr geholfen, ich hoffe ich bin nicht zu anstrengend Hammer

Hab bestimmt noch mehr... hihi Big Laugh
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