Beweis: Monotonie

Neue Frage »

Tommygirl Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Monotonie
Ich muss folgendes beweisen:

monoton fallend


monoton steigend

Komme damit leider nicht so ganz klar
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: monotonie
Ähm, ich kann mich ja auch täuschen, aber ist ist es nicht genau umgekehrt?
Erstere Folge ist monoton steigend und "zweitere" monoton fallend (beide Male sogar "streng").
Vielleicht liegts daran, dass du es nicht hinbekommst?
Tommygirl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: monotonie
oh ja, habe mich aber nur verschrieben, weil ich das mit dem formeleditor etwas durcheinander war.
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: monotonie
Nun du hast 3 Möglichkeiten:

1) So tun als wäre es eine Funktion, d.h. du erweiterst die Zahlenfolge nach R und leitest diese Funktion ab. Anschließend zeigst du, dass die Ableitung stets größer (- streng monoton steigend ) bzw. kleiner (streng monoton wachsend) Null ist. Naja die Ableitungen sind nicht so der Hit. Augenzwinkern

2) Du beweist dies mit vollständiger Induktion:
IAnfang:
IBehauptung: Gelte die Behauptung für n-1 beliebig
ISchritt: "Aus der Gültigkeit für n-1 folgt die Gültigkeit für n"... Dabei ist es meist günstig, wenn man die Folge für n+1 aufschreibt und versucht nach unten hin abzuschätzen, so dass die Folge für n am Ende dieser Abschätzung stehen bleibt.

EDIT
Dachte mir doch , dass ich das Problem auch schon mal hatte - naja die Eulersche Zahl ist halt immer wieder gut für Aufgaben. Noch ein Tipp:

3)Bernoulli-Ungleichung nutzen geht auch.
Tommygirl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: monotonie
Was meinst du mit die Zahlenfolge nach R erweitern?
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hi !

Also hier mal ne ganz einfache Methode :

Und ich glaube das du das schon richtig geschrieben hast, das die erste monoton fallend und die Zweite steigend ist.

Wir nehmen an : Monoton fallend. Also ist das Folgeglied ( n+1 )
kleiner als das vorherige :

1. (1+1/n)^n > (1+1/(n+1))^n / gleicher exponent

2. 1+1/n > 1+1/(n+1) / -1

3. 1/n > 1/(n+1) / *n, *(n+1)

4. n+1 > n / -n

5. 1 > 0

Die Aussage 5 ist uneingeschränkt gültig. Also war unserer Annahme richtig und die Folge ist Streng Monoton fallend.
Die zweite Aufgabe löst man nach dem gleichen Verfahren.

mfg lars
 
 
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, da stimmt was nicht ganz, denn die 1. Folge ( 1 + 1/n )^n ist tatsächlich monoton wachsend, sogar streng. Probier doch einfach mal ein paar Werte aus:

n=1 -> (1+1/1)^1 =2
n=2 -> (1+1/2)^2=2.25
n=3 -> (1+1/3)^3=2.37

.....

Diese Zahlenfolge ist doch sehr bekannt und strebt im Grenzwert gegen die Eulersche Zahl e, genauso wie die zweite, allerdings macht die das streng monoton fallend.

@ Lars B. Der Fehler in deiner Umformung liegt übrigens zwischen Schritt 3 und 4. Falls du den Kehrwert bildest (nichts anderes machst du mit deinen beiden Multiplikationen), dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Ziehen wir den Beweis mal so auf, dass man von einer wahren Tatsache durch Umformen die gesuchte "Formel" herzuleiten versucht.Das Ganze geht dann zumindest eine Weile gut, leider ist zu bald Schluss Augenzwinkern

???

SO , aber was nun ? X( Tja und da liegt nun genau das Problem! Einfach den Exponenten erhöhen geht leider nicht. Diese Abschätzung hat wohl zu viel abgeschätzt. Glaubts mir ohne Bernoulli-Ungleichung oder vollständige Induktion wirds schwer.

@TommyGirl Ach so ja "Zahlenfolge auf R erweitern". Die Folge ist ja eigentlich zuerst einmal nur für natürliche Zahlen definiert. Aber man kann sie auf R fortsetzen, d.h wir machen eine Funktion f(x):=(1+1/x)^x daraus. Mit den Mitteln der Analysis (Ableiten und Vorzeichen der Ableitung bestimmen) kann man dann auf die Monotonie von f schließen. Da die Zahlenfolge eine Untermenge der Funktionswerte von f darstellt gilt die Monotonie dann auch dür diese.

Willste es übers Ableiten probieren (wobei da der natürliche Logarithmus in der Ableitung auftaucht - keine Ahnung ob der in Sachen Vorzeichen leicht zu händeln ist - habs nicht weiter durchdacht)? Oder soll ich den Beweis z.B. über die Bernoulli-Ungleichung mal "vorführen". so einfach, wie der gerade vorgeschlagene wirds aber leider nicht, dafür is er aber richtig Augenzwinkern - Oder wirds dann schon zu "heftig"?
Tommygirl Auf diesen Beitrag antworten »

also ehrlich gesagt blick ich nun nicht mehr durch, was hier nun richtig und falsch ist. und wie ich die monotonie nun am besten beweisen kann.
wenn es also nicht zum umständlich ist, würde ich gerne mal einen vollständigen, richtigen beweis für monoton fallend und steigend sehen.
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

@Drödel
Danke für den Hinweis Drödel. Ich bin nicht so fit in Ungleichungen umstellen. Aber ich dachte, die Verknüpfung dreht sich nur um, wenn man mit negativen Zahlen multipliziert / Dividiert.

@Tommygirl
Bis auf den kleinen Fehler, den ich gemacht habe, finde ich meinen Beweis am einfachsten. Du stellst lediglich die Ungleichung um, und in 5 Schritten ist es getan.
So habe ich es im ersten Semester gelernt und fand den Weg ziemlich einfach, obwohl ich sagen muss, dass deine Zweite Aufgabe etwas umfangreicher umzustellen ist.

Mehr kann ich da auch nicht helfen.

mfg Lars
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

@Lars B. Deine Umformung geht aber trotzdem nett... !!! Denn sie schätzt am Anfang zu stark ab und bleibt dann "mitten drin stecken". Vergleiche doch mal, ich hab deine Idee doch aufgegriffen und soweite möglich umgeformt, aber ...:

Zitat:

???

SO , aber was nun ? X( Tja und da liegt nun genau das Problem! Einfach den Exponenten erhöhen geht leider nicht. Diese Abschätzung hat wohl zu viel abgeschätzt. Glaubts mir ohne Bernoulli-Ungleichung oder vollständige Induktion wirds schwer.


Dann wolln mer halt mal und formulieren für den einen Fall die Abschätzung mit Hilfe von Bernoulli:

z.z. ist streng monoton wachsend.

Nach Bernoulli gilt: gilt immer, falls x>1 (ich weiß ... wird normalerweise mit n statt mit (n+1) formuliert, aber n+1 passt mir hier besser Augenzwinkern )

Nun kann man für das x ja beliebige Dinge einsezten. Machen wir das doch mal mit

Dann ist Bei ** "schlägt" der Bernoulli zu.

Jetzt ham wer des doch schoo, odda ? Augenzwinkern Siehst du's noch nicht? Naja , kein Wunder... geht mir auch so Augenzwinkern da sollte man noch ein wenig umformen...

Wichtig ist alleine: Das müssen wir jetzt noch umformen! Uffz geschockt



Da steht jetzt aber nix anderes als:

Und ich glaube, genau das wollten wir habe Augenzwinkern Nicht gerade einfach, aber ich kenne nur solchigerwelchen Weg. Wenn du einen einfacheren rausgefunden hast, dann melden!

Happy Mathing
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hi !

Ja, es kann sein dass du recht hast. Allerdings bin ich trotzdem ein wenig verwundert. ich habe doch an keiner Stelle meiner Umformung "abgeschätzt", sondern lediglich umgeformt, ohne den Wert der eigentlichen Aussage zu verändern bzw. zu schätzen.

Aber ich bin mir auch nicht 100% sicher, deswegen überlasse ich die klärung mal euch anderen smile

Gruß Lars
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Ungleichung n < n+1 ist ja eine "Abschätzung" - gut zugegeben Abschätzung ist vielleicht das "nicht ganz treffende Wort". Sag mer einfach... so gehts halt net Augenzwinkern
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Irgendwie macht ihr das alles so umständlich...

Mein Ansatz für die erste Aufgabe:



Beh.:

Bew.:


<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>



Irgendwie kommt mir das so zu einfach vor...? Hab ich irgendwo nen Fehler gemacht?
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

NIcht schlecht :]. Ich wusste zwar, dass es auch über vollständige Induktion geht, der ist mir aber nicht aufs Papier gekommen, obwohl ich gestern es schon mal so ähnlich probiert hab. Fehler sind mir keine aufgefallen :]

@Anirahtak Sag mal Anirahtak ... du studierst nicht zufälligerweise Medizin Augenzwinkern

AH ... halt STOP ... eine Sache ist mir schon seltsam:

Zitat:
Original von Anirahtak


<=>


Wie geht denn der Schluss auf der rechten Seite der Gleichungen, da steht doch "unten und "oben" (jeweils hoch n ).

Wie kommt man vom einen zum anderen? Wieso ist das "obere" noch kleiner bzw. identisch?

Ha - wieder STOP ich sehs der Quotient aus n/(n+1) ist ja schließlich kleiner 1. ok....
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nix mit vollständiger induktion zu tun !

Das sind einfache Umformungen die anirahtak da gemacht hat. Ich hatte ja den gleichen Ansatz, aber den wolltest du auch nicht akzeptieren. hehehe 8) 8)

Lars
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

@Drödel: Nein, zufällig nicht Medizin... ;-)

@Lars, so weit ich das sehe liegt der Fehler bei deinem Beitrag von ganz am Anfang, dass du beim (n+1)-ten Folgeglied nur im Nenner n+1 schreibst, aber den Exponenten nicht um 1 erhöhst...!

@Tommigirl: die zweite Aufgabe müsste analog gehen. Versuchs mal selbst und wenns nicht klappen sollte, dann melde ich noch mal!

Gruß
Anirahtak
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Ohhh !! Du hast Recht, das habe ich noch garnicht gesehen. Aber sonst ist stimme ich Dir voll und ganz zu. Dieser Weg ist der einfachste und beruht nur auf Umformungen. Das reicht völlig aus um die Monotonie zu zeigen.

Lars
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

@Lars ich wollte deine Ansatz nicht akzeptieren, weil deine umformungen halt falsch waren! DOCH DOCH DOCH ...... DOCH....
Und hat schon was mit vollständiger Induktion zu tun! Zumindest wenn man will und das was Anirahtak geschrieben hat ist der Induktionsschritt. Naja - kann man auch anders sehen ... Augenzwinkern
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

smile
Danke!

@Drödel: Würd eigentlich überhaupt nicht sagen, dass das vollständige Induktion ist. Habe keinen Induktionsanfang benötigt und auch nicht von A(n) auf A(n+1) geschlossen, sonderen lediglich die Ungleichung für ein beliebiges (und somit alle) n gezeigt!

Gruß
Anirahtak
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Is ja schon gut.... ich find aber halt die vI so nett Augenzwinkern ... Ich ziehe meine Behauptung dann halt hiermit zurück und behaupte das Gegenteil, egal wie es aussieht. Und .... ach ja mein Lob kannste dann auch vergessen, wenn du mir so in den Rücken fällst Augenzwinkern grummmel .... scheinbar doch Medizin.... grummel ... vergess.... LACH
Esleborn Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler
Hi,

die Stelle die Drödel beim Beweis von Anirahtak beanstandet hat, ist tatsächlich falsch. Die Argumentationskette geht zwar von oben nach unten durch (wie Drödel sagt, der Faktor der verschwindet ist kleiner 1), aber von unten nach oben (die Richtung, die für uns entscheidend ist) nicht, denn dort wird mit dem Kehrwert obigen Faktors (welcher größer als eins ist) multipliziert...!


Grüße
Chris
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
Späte Antwort
Und das nach 5(!) Jahren.

mY+
Bobö Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann mir jemand sagen, was für ein Schritt zum nötig war im Beweis von Anirahtak? Danke!
gree Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung hinkt. Ich würde sagen sie geht nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist/war nur ein (Ab)schreibfehler. Der Exponent n gehört hier schon weg. Richtig ist









EDIT: Fehler: Seiten vertauscht! Berichtigt!




mY+
nba2002 Auf diesen Beitrag antworten »

wie du das jetzt schreibst, würde dann ja da stehen:
1<0
oder irre ich mich da?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du irrst dich nicht, die Seiten sind leider vertauscht worden.

Man hätt' auch gleich die 1 links und rechts subtrahieren können, dann ist's noch einfacher zu sehen.











mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »