Diagonalmatrix / Matrixpotenz

23.01.2008, 16:00

pi_mal_Daumen

Diagonalmatrix / Matrixpotenz

Hi Ihr!

Ich habe hier nocheinmal eine Aufgabe, bei der ich zwar ein paar Ideen habe, aber bei der ich es nicht technisch umgesetzt bekomme. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Es sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}). \end{eqnarray*}$

a) Bestimme ein $\begin{eqnarray*} S \in GL(2, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} S^-1AS \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix D ist.

b) Berechne $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . (Warum ist $\begin{eqnarray*} A^n = SD^nS^{-1} \end{eqnarray*}$ ?)

c) Die Folge $\begin{eqnarray*} (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ sei rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray*} u_1 = u_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Man gebe eine geschlossene Formel $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ an.

(Tipp: Man rechne mit den Nullstellen $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \chi_A(X) \end{eqnarray*}$ unter Beachtung von Relationen wie $\begin{eqnarray*} \alpha\beta = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = 1 \end{eqnarray*}$ , und erst am Schliuss setze man die Zahlenwerte von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ein).

Mein Problem ist nun, dass ich nicht ganz zurechte komme mit der Bestimmung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .
Normaler weise würde ich nun ersteinmal das char. Polynom von A ausrechnen, dann die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmten. Diese EV würde ich dann als Spalten in eine Matrix schreiben, und diese bildet dann mein $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .
Was mich nun sehr stutzig macht ist, dass ich dabei sehr merkwürdige werte rausbekomme. Das sieht wie folgt bei mir aus:

$\begin{eqnarray*} \\ \det(A-\lambda E) &&= \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} \\ &&= -\lambda \cdot (1-\lambda) - 1 \\ &&= \lambda^2 - \lambda -1 \end{eqnarray*}$
Das wäre nun mein char. Polynom.

Wenn ich dieses jetzt mit der pq-Formel ausrechne, sollte ich ja meine Eigenwerte bekommen, also
$\begin{eqnarray*} \\ \lambda_{1,2} && = - (\frac{-1}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2 + 1} \\ &&= \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

Somit wären meine Eigenwerte nun $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt wirds dann natürlich relativ hässlich, weshalb ich denke, dass ich bestimmt nen falschen Lösungsweg eingeschlagen habe.

Zu b) Heisst das jetzt, dass ich durch Induktion zu zeigen haben, dass $\begin{eqnarray*} A^n = SD^nS^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt? Aber dazu müsste ich ja erstmal das $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aus a) wissen.

Bei c) habe ich leider noch garkeine Ahnung, aber ich denke, dass ich das auch irgendwie mit Induktion zeigen muss.

23.01.2008, 17:26

Mazze

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